线段、角的轴对称性课件苏科版数学八年级上册.pptx

第2章

轴对称图形

2.4线段、角的轴对称性

回顾旧知线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？

知识点1线段的垂直平分线的性质

如图2－17，直线l是线段AB的垂直平分线，l交AB于点O.把OA沿直线l翻折，因为∠1＝∠2＝90°，OA＝OB，所以OA与OB重合.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

思考如图2－18，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P在上PA与PB相等吗?我们可以运用图形运动的方法，利用线段的轴对称性，证明PA＝PB.

把△PAO沿直线l翻折(如图)，因为∠POA＝∠POB，所以OA落在射线OB上，因为OA＝OB，所以点A与点B重合.依据基本事实“两点确定一条直线”，可知PA与PB重合，所以PA＝PB.

于是，我们得到如下定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

如图，∵点A在线段BC的垂直平分线上，∴AB＝AC.几何语言

线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的对称轴.易错提醒

特别解读1.线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离”.2.用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.

线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗?为什么?

讨论如图2－20，点P在线段AB的垂直平分线l外，PA交l于点Q，连接QB.因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA＝QB，于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB＞PB.

练1如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE.若AE＝4，EC＝2，则BC的长是()A.2B.4C.6D.8C

方法点拨利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是一种常用的解题方法.本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将BC的长转化为线段AE＋EC的长，即可求解.

解：∵直线DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE.∴BC＝BE＋EC＝AE＋EC＝4＋2＝6.

练习1.利用网格画线段PQ的垂直平分线：l解：如图所示.

2.如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站的距离相等?

解：如图所示，连接AB，作线段AB的垂直平分线l，直线l交公路于点C，则点C就是汽车站的位置，此时A，B两村到车站的距离相等.

知识点2线段的垂直平分线的判定

思考如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等.反过来，如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗?

若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，点Q在线段AB的垂直平分线上(如图2－21(1)).

若点Q在线段AB外，且QA＝QB，则作QM⊥AB，垂足为M(如图2－21(2)).由∠QMA＝∠QMB＝90°，QA＝QB，QM＝QM，可证Rt△QAM≌Rt△QBM(HL).由此可知AM＝BM，即点Q在线段AB的垂直平分线上.

于是，我们得到如下定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

几何语言如图，∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.

按下列作法，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线：操作作法图形1.分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D.2.过C、D两点作直线.直线CD就是线段AB的垂直平分线.

交流在△ABC中，用直尺和圆规分别作AB、AC的垂直平分线l1、l2，l1、l2相交于点O，再作BC的垂直平分线，你有什么发现?BC的垂直平分线过点O.

特别提醒证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直.

例1已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC的垂直