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考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
题型有:1.选择题2.填空题3.解答题
选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设α1=,其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相关的
为
A.α1,α2,α3.
B.α1,α2,α4.
C.α1,α3,α3.
D.α2,α3,α4.
正确答案:C
解析:用排除法:当c1≠0时,(A)组、(B)组都线性无关;当c3+c1≠0时,
(D)组线性无关.因此,只有选项(C)正确.知识模块:向量
2.设A,B,C均为n阶矩阵.若AB=C,且B可逆,则
A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.
B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.
C.矩阵c的行向量组与矩阵B的行向量组等价.
D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.
正确答案:B
解析:因为矩阵B可逆,所以B可以表示成若干个初等矩阵之积.而用初
等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换.经一次初等列变换,变换前与变
换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示,经若干初等列变换,亦是如此,即变
换前与变换后矩阵的列向量组等价.所以选(B).知识模块:向量
3.设α1,α2,α3均为3维向量,则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,
α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的
A.必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件
正确答案:A
解析:记向量组(Ⅰ):α1+kα3,α2+lα3;向量组(Ⅱ):α1,α2,α3.(Ⅰ)
是由(Ⅱ)线性表出的,写成矩阵形式即是:[α1+kα3,α2+lα3]=[α1,α2,
α3]当(Ⅱ)线性无关时,矩阵[α1,α2,α3]为列满秩的,由于用列满秩阵左乘
矩阵后,矩阵的秩不变,而矩阵的秩为2,所以此时上式等号左边矩阵的秩也为
2,也就是该矩阵的列秩为2,从而知向量组(Ⅰ)线性无关,所以,(Ⅰ)线性无关
是(Ⅱ)线性无关的必要条件.但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件,
例如当k=l=0时,(Ⅰ)线性无关即向量组α1,α2线性无关,却不能保证(Ⅱ)线
性无关.知识模块:向量
4.设咒阶方阵A的秩为r,且r<n,则在A的n个行向量中
A.必有r个行向量线性无关.
B.任意r个行向量均可构成极大线性无关组.
C.任意r个行向量均线性无关.
D.任一行向量均可由其它r个行向量线性表示.
正确答案:A涉及知识点:向量
5.向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm线性无关的充分条件是(Ⅰ)中
A.每个向量均不是零向量.
B.任意两个向量的分量都不成比例.
C.任一向量均不能由其余m一1个向量线性表示.
D.有一部分向量线性无关.
正确答案:C涉及知识点:向量
6.设m×n矩阵A的秩r(A)=m<n,E为m阶单位阵,则
A.A的任意m个向量必线性无关.
B.A的任意一个m阶子式都不为0.
C.若BA=O,则B=O.
D.经初等行变换,可将A化为(Em|O)的形式.
正确答案:C
解析:由BA=O知A的每个列向量均为齐次线性方程组Bx=0的解向量,
因r(A)=m,知A的列向量组的极大无关组含m个向量,故方程组Bx=0的基础
解系至少含m个解向量,即m一r(B)≥m,→r(B)≤0,→r(B)=0,→B=O.故(B)
正确.注意当r(A)=m<n时,要将A化为标准形,仅仅通过初等行变换是不行
的,还要对A作初等列变换,才能化成标准形,故(D)不对。知识模块:向量
7.设有两组n维向量α1,α2,…,αm与β1,β2,…,βm,若存在
两组不全为零的数λ1,λ2,…,λm
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