函数的单调性第二课时 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP

5.3.1函数的单调性

(第二课时)

;

一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具

有如下的关系：

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.;

问题1如何探究函数的单调性？;

问题2如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数

的单调性？;;;

利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：

第1步，确定函数f(x)的定义域；

第2步，求出导数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.

利用导数研究函数y=f(x)的单调性的优势：

不熟悉的、复杂的函数转化熟悉的、简单的函数;;

问题3能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？;

函数增减的快慢与导数的关系

一般地，设函数y=f(x)，在区间(a,b)上：

如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，

函数的图象就比较“平缓”；

如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，

函数的图象就比较“陡峭”.;

练习1如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是();

练习2若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是();

解：因为

所以

当x=1时，

当0x1时，

当x1时，

所以，f(x),g(x)在(0,+∞)上都是增函数.

在区间(0,1)上，g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间(1,+∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”.所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1.;

.证明：对求导数，得

当时，，

因此函数区间上单调递减.;

1.利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：

第1步，确定函数f(x)的定义域；

第2步，求出导数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.

2.函数增减的快慢与导数的关系

一般地，设函数y=f(x)，在区间(a,b)上???

如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，函数的图象

就比较“平缓”；

如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，函数的图象

就比较“陡峭”.;;