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第八章平面解析几何第5节椭圆
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______,两焦点间的距离叫做椭圆的______,焦距的一半称为半焦距.其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若________,则集合P为椭圆;(2)若________,则集合P为线段;(3)若________,则集合P为空集.1.椭圆的定义椭圆焦点焦距a>ca=ca<c
2.椭圆的标准方程和几何性质
××√√解析(1)由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在这样的图形.
D2.已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是()
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.C
解析由题意可知,椭圆E的半焦距c=3,所以a2-b2=9①.D
因为线段AB的中点坐标为(1,-1),所以x1+x2=2,y1+y2=-2,
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2
解析连接QA(图略).由已知得|QA|=|QP|.所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义知,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆.1.如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是() A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆A
设|PF1|=m,|PF2|=n,∴∠F1PF2=60°.60°
∴|F1F2|2=(|F1P|+|PF2|)2-2|F1P|·|PF2|-2|F1P|·|PF2|cos60°=4a2-3|F1P|·|PF2|=4a2-16,
设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),4.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为________,最小值为________.又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),
若焦点在y轴上,例1求满足下列各条件的椭圆的标准方程: (1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);
解设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
当焦点在x轴上时,
解析因为椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,训练1(1)(多选)已知椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,则这个椭圆的标准方程可以为()BD
角度1离心率D
由题意可设|F1F2|=|PF2|=2,则c=1,由∠F1F2P=120°,解析如图,作PB⊥x轴于点B.故|AB|=a+1+1=a+2,
因为AB平行于y轴,且|F1O|=|OF2|,所以|F1D|=|DB|,即D为线段F1B的中点,因为过F2且与x轴垂直的直线为x=c,
又AD⊥F1B,所以kAD·kF1B=-1,
以AB为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程,A
化简得2c≤b,平方整理得a2≥5c2,
解析设P(x0,y0),则-2≤x0≤2,-1≤y0≤1,∵-1≤y0≤1,角度2与椭圆几何性质有关的最值范围问题
解析法一设点M的坐标为(x0,y0),D
所以c2≥b2,又知b2=a2-c2,
即△MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形,∵|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,(|MF1|+|MF2|)2≤2(|MF1|2+|MF2|2)=2|F1F2|2=8c2,
即2(a2-c2)=c2,则2a2=3c2,D
解析设左焦点F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|+|BF|=4,A∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.
即x1=-2x2,y1=3-2y2.所以当m=5时,点B横坐标的绝对值最大,最大值为2.5
FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3
A.(±3,0) B.(0,±3)C.(±9,0) D.(0,±9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,∴c=3,故焦点坐标为(0,±3).B
解析依题意可知,c=b,C
解析设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,
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