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带你领略

轴对称之美

作者:赵大能

单位:商水县张明一中

带你领略轴对称之美

数学中的轴对称在我们的根底教育中占有很大的份量，她点缀了我们的视野,也在很多领域效劳了我们的生活,她的美不仅在于艺术更在于科学.最重要的是,轴对称可以用来解决生活中的几何极值问题,这让她显得更加有内涵.只有感受它,运用它,才能体会.她的美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。就是这种奇异美使神秘的世界充满了勃勃生机。

在古代“对称〞一词的含义是“和谐〞、“美观〞。事实上，译自希腊语的这

个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐〞。毕达哥拉斯学派认为，

一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对

称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的

对称轴。

在提倡学习“变换几何〞的今天，作为反射变换的“轴对称〞越来越显得重

要．本文将着重阐述“轴对称〞的文化内涵，提醒它的美学价值及应用价值．

首先，轴对称是人类最重要的几何直观．轴对称的直观之美是非常容易感知的．

大自然中的许多景物，比方蝴蝶人体等生物的躯体,水上的倒影等,使用的日常器物，美观的服装设计，都呈现了这种“左右、上下〞大体对称的格局．河姆渡文化中的标志，显示了7千年以前的先民，已经具有轴对称的数学美感．

其次，我们还可以展现轴对称的另外一种美：“以简驭繁〞的数学美、排忧解难的智慧美．如我们熟悉的以下的问题链，借助“轴对称〞数学平台，通过处理一系列的极值问题，展现一种简洁、智慧、巧思的科学之美．问题链犹如一幅国画长卷，一点点展开，由浅入深，最后获得全貌，美不胜收．

人教八年级教材中把?轴对称?作为一个独立的章节，表达出其重要性.与之

相关的问题也成为考察热点.其中，在几何作图及解决实际问题中用到轴对称知

识的情况尤为多见.这类问题的形式比拟灵活，但归纳下来常见的为以下三种.

一、两点一线求最小距离和或最大距离差问题

所谓两点一线求最小距离和及最大距离差问题，

是指所给条件或问题情境可化归为两个点与一条直

线，在直线上求作一点使得距离和最小或距离差最大.

例1如图1-1，在河岸的同侧有两个村庄A和B，要在河岸边建一水站C，

使水站C到A、B两地的输水管道长度之和最小，试在图上作出C.

分析：要求最小距离，可联系“两点之间，线

段最短〞这一性质解题，因而需作出其中一点关于的对称点.

作法：如图1-2，

1、作点A关于直线的对称点；

2、连结交直线于点C；

3、连结AC、BC，因为AC=，且、C、B在同一条直线上，此时AC+BC

为最小.

所以点C即为原题所求作的货场位置.

如何证明？

(分析)在直线l上另取一点C′，连结CA、AC′、BC′、C′A′，要证CA＋CB

最小，由任意性，只要证：CA＋CB＜AC′＋BC′，

由对称性可知：CA＝CA′,C′A＝C′A′只要证：CA′＋CB＜C′A′＋BC′

只要证：A′B＜C′A′＋BC′而△BA′C′中，有三角形两边之和大于第三边，问

题得证。

说明：这类作图题一般给出两个定点与一条直线，然后在直线上求作一点，

使该点到两个定点距离之和最小.这类题的作法可归纳为作其中任一定点关于直

线的对称点，然后与另一定点连结，交直线于一点.

变式：如下图，正方形ABCD的边长为8，

M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，当DN+MN

最小时，试确定N的位置。

例2直线l两侧有A、B两点，如何在直线l上取一点C，使CA-CB最大。

分析：要求使距离之差最大的点，可联系“三角形三边关系两边之差小于第

三边〞这一性质解题，因而需作出其中一点关于的对称点.做A点关于这条直线

l的对称点A,连结AB.

当A与B重合，那么AC,BC的差始终为零，

C可以是直线l上任意一点；

当A不与B重合时1.假设直线AB与直线l

平行，那么C无限远离A,B;2.假设直线AB与直线l相交，交点即位C点所在。

理由：A与B重合的情况就不必解释了当A不与B重合时，因为CA=CA,

所以两条线段差是CB与CA的差，而在三角形ACB中，CB与CA的差小于等

于BA,当取到等于时A,