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第十章重积分

目的要求主要内容第一节二重积分的概念与性质掌握二重积分的概念、意义，理解二重积分的性质，会用性质进行二重积分的估计、比较一、二重积分的概念二、二重积分的性质

....................1.非均匀分布时平面薄板质量问题均匀分布时：质量=密度×面积一、二重积分的概念

....................非均匀分布时平面薄板质量问题

设平面薄板D上非均匀地分布着质量,其分布密度为将区域D任意分割成n个小块每小块的面积记为则每小块上的质量可近似地表示为令求和并取极限便得薄板D的质量为

2.空间中曲顶柱体体积问题一元函数的图形在二维空间中画出，故定积分在几何上可解释为相应的曲边梯形面积的代数和。二元函数的图形在三维空间中画出，那么关于二元函数的二重积分也应该有几何解释。对三元及三元以上的函数，已不能画出直观的几何图形，所以也就不谈及其几何意义。二重积分的几何意义与曲顶柱体体积有关

对D进行分割：小曲顶柱体曲顶柱体的体积

(底面积)(高)小曲顶柱体的体积..小平顶柱体体积为：近似代替

曲顶柱体的体积

比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量小曲顶柱体平面薄板小块(底)(高)(密度)(面积)(面积)(小块)

以上讨论的几个问题的共同点：对自变量的取值范围作任意分割.形式相同的和式：(函数在某点的值)×(小几何体的度量值)形式相同的极限：{分割后小几何体的度量值}具有任意性看成均匀变化时,所求量可表示为两个量的乘积.所求量对区域具有可加性.

3.二重积分的定义设是定义在有界闭区域上的有任意分割为n个可度量的小几何它们的度量值记为记作和式若极限存在，且与对的分割方式及点的选择方式无关，则称此极限将界函数，形体

值为函数在上的二重积分，此时称函数在上是可积的，记为记为其中——积分号；——被积函数；——积分区域；——积分元素。

对二重积分定义的说明：4、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分的绝对值是柱体的体积．(3)二重积分是一个数值，只与积分区域D和被积函数有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

例1利用二重积分的几何意义求二重积分

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为二重积分是柱体的体积的代数和．

课后好好想一想！如果你的定积分已经忘记了，请赶快复习一下，不然会给你带来麻烦哦。

二、二重积分的性质则二重积分应具有一些极限所具有的性质这就是说，

（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2复习一元函数定积分的性质

性质4性质4的推论：（1）（2）性质3

性质6（定积分中值定理）积分中值公式性质5

（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1性质2二、二元函数定积分的性质对区域具有可加性

性质3若为D的面积，相当于以D为底，高为1的平顶柱体体积V=|D|。性质4则

性质4的推论：（1）（2）（1）若在D上则有

性质5..

性质6（定积分中值定理）

【例2】比较下列积分的大小:其中【解】积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而区域D位从而于直线的上方,故在D上

解

解

二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）小结

将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.思考题相同点：定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同点：定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数；而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．解答

练习题答案

作业作业本：P1361;4（2、4）；5（2、4）预习§2二重积分计算（直）