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第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第3节二项式定理
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
3.各二项式系数和
×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×√√
C解析根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n=32,可得n=5,
ADA.存在n∈N*,展开式中有常数项B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项当n=4k-1时,展开式中存在x的一次项,D正确,C错误.
A.5 B.10 C.15 D.20C∴x3y3的系数为10+5=15.
解析因为所有二项式系数的和是32,所以2n=32,解得n=5.1
所以a2+a3+a4=3+7+0=10.6.已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=________;a2+a3+a4=________.510
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2
240角度1求二项展开式的特定项
解析二项展开式的通项公式为
∵k∈N,∴r应为偶数,∴r可取2,0,-2,即k可取2,5,8,
C角度2两个二项式之积、三项展开式问题A.15 B.20 C.30 D.35
(2)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60解析法一(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,C法二(x2+x+y)5表示5个x2+x+y之积.
训练1(1)(x2+x+1)(x-1)4的展开式中,x3的系数为() A.-3 B.-2 C.1 D.4B
-1683
解析依题意得2n=8,解得n=3.取x=1得,该二项展开式每一项的系数之和为(1-2)3=-1.A角度1二项式系数和与系数和
(2)(多选)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是()A.a0=1B.a1+a2+a3+a4+a5=2C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=-1解析令x=0,则a0=15=1,故A正确;令x=1得-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故B错误;令x=-1得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,故C正确;ACD
所以a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故D正确.
即(x-1)100-1=a0+a1x+a2x2+…+a100x100.令x=1,得a0+a1+a2+…+a100=-1.令x=0,得a0=0.又易知a100=1,所以a1+a2+a3+…+a99=-2.角度2展开式的逆用B
训练2(1)已知(1+x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为() A.29 B.210 C.211 D.212A
ACD
解析由题意,当x=0时,a0=12021=1;当x=1时,a0+a1+a2+a3+…+a2021=(-1)2021=-1,当x=-1时,a0-a1+a2-a3+…-a2021=32021,
B
D要使x的指数是整数,需k是3的倍数,∴k=0,3,6,9,12,15,18,∴x的指数是整数的项共有7项.
训练3(1)已知(3x-1)n展开式的第5项的二项式系数最大,且n为偶数,则(3x-1)n展开式中x2的系数为() A.-252 B.252 C.-28 D.28B
解析∵只有第5项的二项式系数最大,C
FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3
B
A.-20 B.-5 C.5 D.20A
令5-2r=-1可得r=3,C
D
ABC
解析令x=-1得(-1-1)5=a0,即a0=-32,故A正确.令x=0得(-1)5=a0+a1+…+a5,即a0+a1+…+a5=-1,故D不正确.6.(多选)已知(x-1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,则() A.a0=-32 B.a2=-80 C.a3+4a4=0 D.a0+a1+…+a5=1ABC
∴x2的系数是10.10
2
当x=1时,(1+2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243,①当x=-1时,(1-2)5=a0-a1+a
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