考研数学一(解答题)模拟试卷107(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学一（解答题）模拟试卷107(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．求下列极限：

正确答案：涉及知识点：高等数学

2．求

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续

3．设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…，是[a，b]上一个点列，

求

正确答案：由f(x)在[a，b]上连续知，ef(x)在[a，b]上非负连续，且0故由

根据夹逼准则，得涉及知识点：函数、极限、连续

4．试证(x+y)ln≤xlnx+ylny。

正确答案：构造函数f(x)=xlnx，则f’(x)=lnx+1，f”(x)=＞0，则f(x)=xlnx为

凹函数，根据凹函数的性质，有即不等式(x+y)f(*)≤xlnx+ylny成立。涉

及知识点：一元函数微分学

5．计算

正确答案：涉及知识点：一元函数积分学

6．设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1，X2，…，Xn是取自X的样

本．，S2分别是样本均值与样本方差．试确定下列估计量中a，b的取值范

围．(Ⅰ)a＋(1－a)S2是λ的无偏估计量；(Ⅱ)是λ2的无偏估计量．

正确答案：由于总体X服从参数为λ的泊松分布，于是有EX＝DX＝λ，

E＝λ，又因样本方差S2是总体方差DX的无偏估计量，故ES2＝

λ．(Ⅰ)E[a＋(1－a)S2]＝aE＋(1－a)ES2＝aλ＋(1－a)λ＝λ．由于a，

a＋(1－a)S2都是λ的无偏估计量，因此a的取值范围是全体实数，即a∈(－∞，

＋∞)．(Ⅱ)＋λ2－bλ．由于的无偏估计量，所以有(－b)λ＋λ2

＝λ2，b＝．涉及知识点：概率论与数理统计

7．证明：n＞3的非零实方阵A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，

则A是正交矩阵．

正确答案：由题设，aij=Aij，则A*=AT，AA*=AAT=｜A｜E．两边取行列

式，得｜A｜n=｜A｜n，得｜A｜2(｜A｜n-2一1)=0．因A是非零阵，设aij≠0，

则｜A｜按第i行展开有从而由｜A｜2(｜A｜n-2一1)=0，得｜A｜=1，故

AA*=AAT=｜A｜E=E，A是正交矩阵．涉及知识点：线性代数

8．设u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换x=rcosθ，r=rsin

θ下有

正确答案：利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得

于是【注】在极坐标变换x=rcosθ，γ=rsinθ下，拉普拉斯方程涉及

知识点：多元函数微分学

9．设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向

量α，β，使得A=αβT．

正确答案：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，令A=，

故A=αβT，显然α，β为非零向量．设A=αβT，其中α，β为非零向量，

则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1．涉

及知识点：线性代数

10．设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且

λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1)T．(1)