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1【解】由an+1=2an2,a1=2可知an0(n∈N*),两边同时取以2为底的对数得log2an+1=log2(2an2)=log22+log2an2=1+2log2an.令bn=log2an,则bn+1=2bn+1.令bn+1+t=2(bn+t),则bn+1=2bn+t,则t=1.∴bn+1+1=2(bn+1),∴{bn+1}为等比数列,且首项为b1+1=log2a1+1=2,公比为2,∴bn+1=2·2n-1=2n,即bn=2n-1,∴log2an=2n-1,∴an=.微专题求数列通项公式的方法(3)构造法④对数型:anp=man-1q(其中m,p,q为常数)已知数列{an}的首项a1=2,且满足an+1=2an2,求数列{an}的通项公式.
2⑤倒数型:an=(其中k,b为常数)[天津红桥区2019期中]已知正项数列{an}满足a1=1,an+1=,则a5的值为__________.微专题求数列通项公式的方法(3)构造法【解析】由递推关系可得anan+1+2an+1=2an,即anan+1=2an-2an+1,据此有-=,又=1,故数列是首项为1,公差为的等差数列,则=1+×(5-1)=3,故a5=.
4.3.2等比数列的前n项和公式
第一课时等比数列的前n项和公式
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点)2.会用错位相减法求数列的和.(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.学习目标
情境导入国际象棋起源于古印度,相传国王要赏赐国际象棋的发明者,问问他想要什么?宰相开口说道:请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……依次,每一个格子里都必须是前一个格子麦粒数目的两倍,直到最后一个格子第64格。“好吧!”国王哈哈大笑,慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢?
问题1若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,如何求该等比数列的前n项的和?
提示思路一:因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,则有,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,乘q有,qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn,两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn,上述等比数列求前n项和的方法,称为“错位相减法”.
思路三:Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1),?Sn=a1+q(Sn-an)?(1-q)Sn=a1-anq,
已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一Sn=________________公式二Sn=________________一、等比数列的前n项和公式?
问题2你能发现等比数列前n项和公式Sn的函数特征吗?
1.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=,Sn是n的正比例函数.2.当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=.即Sn是n的指数型函数.注意点:等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.A(qn-1)na1
试一试1.数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k=____.解析∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k,且{an}为等比数列,
已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一Sn=________________公式二Sn=________________一、等比数列的前n项和公式?公式三
例1
例1
?
错位相减法等差等比二、错位相减法
?
本课小结:本节课我们学习了:1.数列的前n项和公式;2.利用等比数列前n项和公式判断等比数列;3.错位相减法.
问题2同学们,现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗?如果他无法实现他的诺言,你能帮他解决吗? =18446744073709551615,然而这个数字对国王来说是一个天文数字,显然国王无法实现他的诺言,国王为了使自己不失信于民,于是他向发明者说:你这个提议很好,你自己去数吧.大家知道吗,要把这些数完,如果一秒钟数一粒,大约需要5800亿年.
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