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兰彻斯特方程的作战应用及展望

作者：吕游，曹继锴

来源：《科技视界》2015年第29期

兰彻斯特方程的作战应用及展望

吕游曹继锴

（中国人民解放军国防科学技术大学指挥军官基础教育学院，湖南长沙410072）

[摘要]兰彻斯特方程又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方战斗中兵力消耗过程的运筹学分支。本文对兰彻斯特方程的基本理论和作战应用研究进行介绍和归纳，并对兰彻斯特方程在未来联合作战指挥决策中的应用做出展望。

[关键词]兰彻斯特方程；作战应用；展望

1914年，英国人兰彻斯特在英国《工程》杂志上发表的一系列文章，在进行了一定简化的前提下成功建立了能够揭示交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。随着军事变革的不断深化，兰彻斯特方程必将在未来联合作战的指挥控制、消耗评估等领域发挥更大作用。

1两种基本形式的兰彻斯特方程

兰彻斯特方程按照变量取值连续与否可以分为确定型兰彻斯特方程和随机型兰彻斯特方程。

1.1确定型兰彻斯特方程

确定型兰彻斯特方程是一组常微分方程（ODE）所组成的数学模型。兰彻斯特方程最早用来模拟空战，令状态变量和分别表示在时刻时，蓝方和红方剩余飞机的数量，比例常数和表示在单位时间内，每架剩余飞机击落的对方飞机的数量。

将赢得战斗胜利，同时用式（4）可以预测任意时刻双方剩余兵力的数量。因为战斗力取决于战斗单位数量的平方，故将式（1）称为兰彻斯特“平方律”。平方律也称为“直瞄射击”律，因为双方损失战斗单位的速率跟各自战斗单位的数量没有任何关系。

如果双方目标很难发现，只是向某个区域射击，可以预料各自的损失，既跟y也跟x成正比，将这种情况称为“间瞄射击”，其ODE为：

人员数和杀伤力系数的乘积。由于只涉及初始兵力数的一次方，因此间瞄模型也称为“线性律”。

1.2随机型兰彻斯特方程

采用欧拉方法求解确定型兰彻斯特方程时，时间增量Δ为一个理想的小数。计算结果未必是整数，而实际伤亡必然是整数，这就导致随机型兰彻斯特方程的产生。

2兰彻斯特方程作战应用研究现状

兰彻斯特方程主要用于解决两类问题：一是作战对抗过程的描述，二是作战策略的评估优化。

2.1作战对抗过程中的描述

一是，兵力、装备战损量预测。兵力、装备战损量预计是作战中必须考虑的问题，运用兰彻斯特方程是一个很好的解决途径。兰彻斯特方程被广泛应用于飞机对抗、舰船对抗、炮兵对抗等作战中的战损预测，并出现了很多改进模型。针对不同类型的战损问题，由于不同军兵种的作战影响因素各不相同，产生了很多对兰彻斯特方程的改进模型。如：基于指数多元兰彻斯特方程的装备战损量预计模型、基于兰彻斯特方程的聚合级实体损耗模型等。

二是，分析特定因素对作战的影响。特定因素往往在战争中起到十分重要甚至是颠覆性的作用，在近代战争的兰彻斯特方程的基础上，研究人员将各种影响作战的因素考虑到兰彻斯特方程之中，并加以推导验证。如：考虑信息、时间、气象、电磁环境等因素的影响研究人员先后分别建立了信息支援背景下的空战兰彻斯特方程、时滞奇异摄动理论的滞兰彻斯特方程、考虑气象条件的兰彻斯特方程等。

2.2作战效能评估和作战策略优化

一是，作战效能评估。科学、准确地对作战计划进行效能评估有利于指挥员做出正确指挥调控。研究人员从不同角度尝试合理描述交战过程，并而建立相应兰彻斯特方程，研究探索出很多作战效能评估的新方法。如按防护能力、机动能力、打击能力、信息能力和保障能力对武器装备的作战能力进行量化，建立基于“联合指数”法的兰彻斯特方程研究武器系统整体合力；利用“协同系数”方法建立兰彻斯特方程，对联合作战编组整体作战能力进行效能评估等。

二是，作战策略优化。运用兰彻斯特方程可以对火力分配、打击重点、增援方案等进行优化，以提高部队作战效能。广大研究人员做了大量深入细致的研究，如基于兰彻斯特方程建立最优控制模型并研究作战中多战场的最优增援问题；引入协同因子概念，建立基于联合作战的兰彻斯特方程，研究联合作战火力优化问题；建立非对称情况下军械装备战斗损伤的兰彻斯特方程，对非对称作战攻击策略进行研究等。

3兰彻斯特方程在未来联合作战中的应用展望

未来的一体化联合作战中兰彻斯特方程在相关领域的应用必将得到深入发展，在研究对象、研究内容、研究方法等问题上必将产生新的转变。

一是，研究对象上，从单兵种局部对抗向诸军兵种联合打击转变。当今世界战争形式已经发展成为信息化条件下的联合作战，其制胜条件复杂、各作战单元相互影响加大，对应用兰彻斯特研究联合作战产生了更高的要求和挑战。相信随