2025高考数学一轮复习-第37讲-第2课时-面面夹角【课件】.pptxVIP

第37讲空间角与距离的计算第2课时面面夹角第七章立体几何

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．(1)求证：AM⊥平面PCD；几何法求二面角举题说法1因为在正方形ABCD中，CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD?底面ABCD，所以CD⊥平面PAD.因为AM?平面PAD，所以CD⊥AM.因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AM⊥平面PCD.【解答】

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．1如图，取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，则EF＝CD，EF∥CD.【解答】因为AD⊥CD，所以EF⊥AD.又在正三角形PAD中，PE⊥AD，EF∩PE＝E，EF，PE?平面PEF，所以AD⊥平面PEF.

因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEF，所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝4.平面PAB⊥平面ABCD，O为AB的中点，∠DAO＝∠AOP＝60°，OA＝OP，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(1)求证：平面PCD⊥平面AFGB；向量法求二面角2如图，取AO的中点H，连接HD，HP.【解答】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∠DAO＝60°，因为O为AB的中点，则有四边形BCDO是平行四边形，所以OD∥BC，∠DOA＝∠CBO＝∠DAO＝60°，所以△OAD为正三角形，所以AD＝2，HD⊥AO.

在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝60°，所以△AOP为边长为2的正三角形，所以AP＝2，PH⊥AO.因为AP＝AD，F为PD的中点，所以AF⊥PD.因为HD⊥AO，PH⊥AO，HD∩PH＝H，HD，PH?平面PHD，所以AO⊥平面PHD，即AB⊥平面PHD.因为PD?平面PHD，所以AB⊥PD.而G为PC的中点，则FG∥CD∥AB，所以PD⊥FG.又因为AF∩AB＝A，AF，AB?平面AFGB，所以PD⊥平面AFGB.因为PD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面AFGB.

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝4.平面PAB⊥平面ABCD，O为AB的中点，∠DAO＝∠AOP＝60°，OA＝OP，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(2)求平面PDE与平面ABCD夹角的正切值．2因为PH⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PH?平面PAB，所以PH⊥平面ABCD，所以由(1)知，PH，HD，AB两两垂直．【解答】

变式如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．(1)求证：BC⊥DA；连接AE，DE.因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC.【解答】因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD为全等的等边三角形，所以AC＝AB，从而AE⊥BC.又AE∩DE＝E，AE，DE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而AD?平面ADE，所以BC⊥DA.

【解答】变式如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．

二面角中探究性问题3【解答】(1)因为△ABD为边长为2的正三角形，点O为AB的中点，所以DO⊥AB.连接OC交BD于点G.(1)求证：BD⊥PC；

因为PO，OC?平面POC，PO∩OC＝O，所以BD⊥平面POC.因为PC?平面POC，所以BD⊥PC.

3

【解答】

配套精练

【解析】C

2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为 ()D【解析】由AC＝CB知，AC⊥CB，如图，取AB的中点M，连接C1M，CM.由条件知∠C1MC即为二面角C1-AB-C的平面角．

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B-AC-M的余弦值为 ()【解析】因为BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，所以PA⊥BC.又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，BC，AB?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.

【答案】A

【解析】

【答案】ABD

【解析】60