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§4.1不定积分第4章
一、不定积分的概念与性质引例一个质量为m的质点,用下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有1.不定积分的定义的作
由定义,若F(x)是f(x)的一个原函数，又知故即f(x)的任意两个原函数之间只相差某个常数.即则又设G(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C是f(x)在区间I上的原函数的一般表达式.综上所述,若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,(C0为某个常数)的原函数.
问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,如何求?定理1存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在区间I上
定义2在区间I上的原函数的一般表达式称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;即若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作
不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.
2.不定积分的性质推论若则3)不定积分与微分(导数)的关系或或
3.基本积分表利用逆向思维(k为常数)
或或
例1求解原式=例2求解原式=例3求解原式=
例4求解原式=例5求解原式=思考:这种利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的方法称为直接积分法.
例7求解原式=例6求解原式=思考:
内容小结1.不定积分的概念?原函数与不定积分的定义?不定积分的性质?基本积分表(见P66)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质
思考与练习求不定积分解
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