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习题课集合的概念与运算
学习目标1.巩固和深化对集合基础知识的理解与掌握(重点);2.掌握集合间的关系与集合的基本运算(重、难点).
1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()
A.2个 B.4个
C.6个 D.8个
解析∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}.∴M∩N的子集共有4个.
答案B
2.设全集I={a,b,c,d,e},集合M={a,b,c},N={b,d,e},那么(?IM)∩(?IN)等于()
A.? B.{d}
C.{b,e} D.{a,c}
解析∵?IM={d,e},?IN={a,c},
∴(?IM)∩(?IN)={d,e}∩{a,c}=?.
答案A
3.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},如图中阴影部分所表示的集合为()
A.{1} B.{1,2}
C.{1,2,3} D.{0,1,2}
解析由题意得,A∩B={3,4,5},阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合,所以为{1,2}.
答案B
4.已知P={x|x=a2+1,a∈R},Q={x|x=a2-4a+5,a∈R},则P与Q的关系为________.
解析∵x=a2+1≥1,x=a2-4a+5=(a-2)2+1≥1,∴P=Q={x|x≥1}.
答案P=Q
类型一集合的概念
【例1】已知1∈{a+2,(a+1)2,a2+3a+3},求实数a的值.
解当a+2=1时,a=-1,而此时有a2+3a+3=1,不符合元素互异性,故a=-1舍去.
当(a+1)2=1时,a=0或a=-2,而当a=-2时,(a+1)2=a2+3a+3,不符合元素互异性,故此时,a=0.
当a2+3a+3=1时,a=-1或a=-2,均应舍去.
综上所述,a=0.
规律方法要解决集合的概念问题,必须先弄清集合中元素的性质,明确是数集,还是点集等.
【训练1】设集合A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|2x-3y+4=0},则A∩B=________.
解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-y=0,,2x-3y+4=0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=4,,y=4.))∴A∩B={(4,4)}.
答案{(4,4)}
类型二集合间的基本关系
【例2】已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.
解由x2-3x+2=0得x=1或2,
∴A={1,2}.
∵A∪B=A,∴B?A.
(1)当B=?时,a=0,此时方程ax-2=0无解,∴a=0时,满足B?A.
(2)当B≠?时,B={x|ax-2=0}=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))?{1,2}=A,∴eq\f(2,a)=1或eq\f(2,a)=2,
∴a=2或1.
综上,实数a=0,1,2.
∴集合C={0,1,2}.
规律方法(1)在解决两个数集关系问题时,合理运用数轴分析与求解可避免出错.在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论,分类时要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答.
(2)对于两集合A,B,当A?B时,不要忽略A=?的情况.
【训练2】设集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2-4x+a=0,a为常数},若BA,求实数a的取值范围.
解由已知得A={1,2}.若B?A,则集合B有两种情况,B=?或B≠?.
当B=?时,方程x2-4x+a=0无实根,
∴Δ=16-4a0,∴a4.
当B≠?时,若Δ=0,则有a=4,B={2}?A满足条件;若Δ0,则1,2是方程x2-4x+a=0的根,但由根与系数的关系知矛盾,故Δ0不成立.∴当B≠?时,a=4,综上所述,满足B?A时,实数a的取值范围是{a|a≥4}.
∴满足BA的实数a的取值范围是{a|a4}.
考查
方向
类型三集合的交、并、补运算
方向1用图示法解决集合的运算问题
【例3-1】全集U={x|x是不大于9的正整数},A,B都是U的子集,(?UA)∩B={1,3},(?UB)∩A={2,4,8},(?UA)∩(?UB)={6,9},求集合A,B.
解法一U={x|x是不大于9的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
∵(?UA)∩B={1,3},(?UB)∩A={2,4,8},
∴{1,3}?B,{2,4,8}?A.
∵(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={6,9},
∴A∪B={1,
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