问题提出复变积分定理.pptxVIP

一、问题的提出观察上节例1,此时积分与路线无关.观察上节例2,柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.由于不满足

§3.2柯西积分定理一、问题的提出二、基本定理四、原函数三、复合闭路定理

由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.受此启发,柯西(Cauchy)于1825年给出如下定理:观察上节例３,说明积分与路线有关．

二、柯西－古萨特基本定理1、柯西积分定理——单连通区域1851年，黎曼在附加假设“在D内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明．

黎曼证明且满足C—R方程：由格林公式：

定理又称为柯西－古萨特定理.内连续”的假设，发表上述定理新的证明方法．因此，1900年,法国数学家古萨（Goursat）免去“在D

解析函数在单连通域内的积分与路线无关．由定理得即：如图，则

关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域Ｄ的边界,(2)如果曲线C是区域Ｄ的边界,定理仍成立.

例1解:根据柯西－古萨定理,有说明：本题若用复积分的计算公式，将很复杂．

例2解:根据柯西－古萨定理得都在曲线

二、柯西－古萨特基本定理1、柯西积分定理——单连通区域

三、复合闭路定理—多连通区域

1.闭路变形原理（闭路变形原理）解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.

从而有︵︵︵︵︵︵证明：

解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.CC1

那么即：复变函数沿多连通区域外边界线逆时针方向的积分等于沿所有内边界线逆时针方向的积分之和。2.复合闭路定理

多连通区域的柯西定理

例3解:圆环域的边界线构成一条复合闭路,根据复合闭路定理,

例4解:由闭路变形原理,

此结论非常重要,用起来很方便,因为C不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线C内即可.重要积分公式

解：依题意知,例5由上例的结论，

四、原函数由柯西积分定理，1.变上限的积分:解析函数在单连通域内的积分与路线无关．则

2、定理一3、原函数之间的关系:它就有无穷多个原函数,那么其全体原函数可表示为

4、定理二(复积分的Newton-Leibnitz公式)

例6解:例7解:

例8解使用:“分部积分法”

作业：P503.3(2)、(4)、(6)3.5

小结与思考1.通过本课学习,重点掌握柯西积分定理:并注意定理成立的条件.2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:

3.本课介绍了原函数、的定义以及牛顿—莱布尼兹公式.在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合,更好的理解本课内容.1.应用柯西–古萨定理应注意什么?2.解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?思考题

思考题答案1.应用柯西–古萨定理应注意什么?(1)注意定理的条件“单连通域内处处解析”.(2)注意定理的不能反过来用.

2.解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?两者的说法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.

GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古萨特资料

（方法二）根据复合闭路定理,分割包围!柯西积分定理重要积分公式柯西积分定理重要积分公式

例8解使用:“分部积分法”课堂练习答案