函数的最大（小）值第二课时教学设计 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docxVIP

课题5.3.2函数的最大（小）值(第2课时)

一、教学内容

用导数判断函数的单调性，运用导数求函数的极值与最大（小）值的应用。

二、教学目标

1.熟练掌握运用导数求函数的单调区间，求函数的极值与最大（小）值；

2.学会用导数解决数学中的函数问题和生产生活中的最优化问题。

三、教学重点与难点

重点熟练运用导数判断函数的单调性并求函数的极值与最大（小）值

及相关应用；

难点将函数中相关问题，生产生活中的问题的解决转化为单调性和极

值最值问题的解决。

四、教学过程设计

1.知识回顾

问题1我们前两节课学习了哪些内容？

预设 学习了用导数去判断函数的单调性，并求出函数的单调区间，根

据函数的单调性求函数的极值和最大（小）值；

设计意图 带领学生复习回顾最值与极值的区别与联系，知道可以利用

最值法进行不等式的证明.

问题2请判断函数f(x)=(x+1)?x的单调性,并求出f(x)的极值；

预设 解⑴函数的定义域为R.

f(x)=(x+1)ex+(x+1)(?x)

1

ex+(x+1)ex

(x+2)ex

令f(x)=0，解得x=-2.

f(x)，f(x)的变化情况如表5.3-4所示.

表5.3-4

x

-2

-

0

+

单调递减 单调递增

所以，在区间(-∞,-2)上单调递减，在区间(-2,+∞)上单调递增.

当时，f(x)有极小值.

设计意图熟悉用导数求单调区间和极值最值，为后面的应用作准备.

2.能力深化

问题3 画出函数f(x)=(x+1)?x的大致图像吗？

追问1 要想画出图像，我需要知道该函数的哪些性质和特点？

预设 需要知道该函数的单调性，奇偶性，极值点、最值点等特殊点

及变化趋势.

追问2 问题2中，我们已经判断出了函数的单调性并求出了函数的

单调区间，同时也求出了该函数的极值和极值点，还需要求出什么？

预设还需要求出该函数经过的特殊点和变化趋势.

令，解得.

当时，；当x-1时，f(x)0.

所以，的图象经过特殊点A(-2,-?12)，B(-1,0),C(0,1).当时，与

2

一次函数相比，指数函数y=?-x呈爆炸性增长，从而f(x)=x+1→0；

?-x

当x→+∞时，，f(x)→+∞.

根据以上信息,我们画出f(x)的大致图象如图5.3-17所示.

y

-2-11

x

O 1

-1

图5.3-17

设计意图 教会学生用导数研究函数的单调性，极值等性质以及画函

数大致图像的问题，并由画图过程提炼出函数作图的基本步骤，理清这些

步骤与求函数单调区间，求函数极值等问题的步骤之间的联系.

问题4你能求出方程的解的个数吗？

追问1你觉得应该怎么去求？直接解这个方程可以吗？

预设 用现有的解方程的知识解决不了.

追问2如何转化呢？

预设 方程的解的个数为函数y=f(x)的图像与直线y=a的

交点个数.

由（1）及图5.3-17可得，当x=-2时，f(x)有最小值f(-2)=-1.?2

所以,关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论

当时，解为0个；

3

当a=-

1

或a≥0时，解为1个；当-

1

a0时，解为2个.

?2

e2

设计意图

让学生联系零点存在性定理，从而带领学生得到以下阶段

小结.

阶段小结 由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.

通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象

（1）求出函数f(x)的定义域；

（2）求导数f(x)及函数f(x)的零点；

（3）用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各

区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；

（4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

（5）画出f(x)的大致图象.

设计意图 及时的阶段小结，让问题明确化，过程系统化，方法条理化，

提高解决问题的能力.

问题5我们还能运用导数解决函数中的哪些问题呢？

例1 利用函数的单调性，证明不等式ex31+x.

追问 如何转化？

预设 要证ex31+x，只要证ex-x-130，即证f(x)=ex-x-130，

只要证fmin(x)30

追问 本题转化为了什么问题？

预设 函数求最值问题.

f(x)=ex-x-1

设计意图 让学生体会常见的数学问题的转化路径，培养转化与化归

的能力.

3.实际问题

4

引导语下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用.

问题6饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过