青海省考研数学复习资料线性代数重难点剖析 - 副本.pdfVIP

青海省考研数学复习资料线性代数重难点剖

析

青海省考研数学复习资料：线性代数重难点剖析

一、矩阵与线性方程组

矩阵与线性方程组是线性代数中的基本概念和重要内容。在考研数

学中，对于矩阵的基本定义、性质和运算规则需要掌握清楚，并且要

能够灵活运用。线性方程组的解的存在性、唯一性和求解方法也是考

研数学的重点。

1.矩阵的基本定义与性质

矩阵是由数学对象组成的一个矩形阵列，其中每一个数学对象称为

矩阵的元素。矩阵代表了线性方程组的系数矩阵、增广矩阵和变换矩

阵等重要概念。对于矩阵的基本定义、矩阵的转置、逆矩阵等性质需

要熟练掌握。

2.线性方程组的解的存在性与唯一性

对于线性方程组，需要判断其解的存在性与唯一性。根据矩阵的秩

和行阶梯形，可以判断线性方程组的解的存在性和唯一性。此外，还

需要了解线性方程组解的分类，包括唯一解、无穷解以及无解的情况。

3.线性方程组的求解方法

线性方程组的求解方法有多种，包括高斯消元法、矩阵的初等变换

和向量组的线性组合等。在实际计算中，可以根据具体的情况选择合

适的求解方法。此外，对于齐次线性方程组和非齐次线性方程组的求

解方法也需要掌握。

二、向量空间与线性映射

向量空间和线性映射是线性代数的核心概念，是理解和应用线性代

数的基础。在考研数学中，对于向量空间和线性映射的定义、基本性

质以及变换矩阵的求法需要掌握。

1.向量空间的定义与性质

向量空间是指满足特定条件的向量集合，具有加法和数乘运算。对

于向量空间的定义与性质，需要了解线性相关和线性无关的概念，以

及子空间、维数和基等重要性质。

2.线性映射的定义与性质

线性映射是指保持向量空间中的线性运算的映射，它在数学和实际

问题中有丰富的应用。对于线性映射的定义与性质，需要熟悉线性映

射的保持加法和数乘运算的性质，并且要能够判断线性映射的满射和

单射。

3.变换矩阵的求法

对于线性映射，可以通过求解变换矩阵来描述其在不同向量空间之

间的映射关系。变换矩阵的求法可以利用线性映射的基的像空间与原

空间的关系。在实际计算中，可以通过求解向量组的坐标表示来得到

变换矩阵。

三、特征值与特征向量

特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，在许多实际问题中具

有重要的作用。在考研数学中，对于特征值与特征向量的定义、性质

以及求解方法需要熟悉和掌握。

1.特征值与特征向量的定义与性质

对于矩阵A，如果存在数lambda和非零向量x，使得Ax=lambda*x

成立，则称lambda为A的特征值，x为对应于特征值lambda的特征向

量。对于特征值与特征向量的基本性质，需要了解特征值与特征向量

的代数重数和几何重数等概念。

2.特征值与特征向量的求解方法

求解特征值与特征向量可以通过求解特征方程的根和对应的特征向

量。对于$n$阶矩阵来说，特征方程是一个$n$次多项式方程，求解特

征方程需要灵活运用代数方法和线性方程组的求解技巧。

四、正交与正交变换

正交与正交变换是线性代数中的重要概念，广泛应用于几何、物理

以及信号处理等领域。在考研数学中，对于正交矩阵的性质、正交变

换和正交投影等内容需要掌握。

1.正交矩阵的性质与判定

对于正交矩阵，需要了解它的基本性质，包括转置矩阵和逆矩阵的

关系，以及正交矩阵的行列式等。此外，判定一个矩阵是否为正交矩

阵可以通过矩阵的列向量的内积等方法。

2.正交变换和正交投影

正交变换是指在向量空间中保持向量之间的夹角和长度不变的线性

变换。正交变换具有保角、保距和保积的性质，并且可以通过特征值

分解来求解。与之相对应，正交投影是正交变换的一种特殊形式，通

过将向量投影到某个子空间上。

总结：

线性代数是数学的基本分支之一，对于考研数学来说具有重要的地

位。在复习线性代数的过程中，需要掌握矩阵与线性方程组的基本定

义与性质，熟练掌握线性方程组的解的存在性与唯一性以及求解方法。

同时，要深入理解向量空间与线性映射的概念和性质，能够求解变换

矩阵和描述线性映射的关系。此外，对于特征值与特征向量以及正交

与正交变换的理解和运用也是非常关键的。通过系统学习和大量练习，

相信可以在考研数学中取得优异的成绩。