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专题18.2中位线定理与几何综合
正向思维:是一类常规性的、传统的思维形式,指的是大家按照自上而下,由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维:是指在剖析、破解数学难题进程中,可以灵活转换思维方向,从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式,比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维,直接证明有困难时可采
用间接证明。
一、三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半。
【典例1】知识回顾:(1)连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,如图1,点,分别为边,
Δ
的中点,则线段称为的中位线,则与的位置关系是;与的数量关系是.
方法探究:(2)请将图2中的三角形通过剪切拼接成一个与之面积相等的平行四边形,若要求只有一条剪
切线,请画出剪切线及剪拼成的平行四边形,并说明拼接方法.
问题解决:(3)如图3,有一块空地和水井,李大爷计划利用该空地和水井修建一片菜地,其中点
∥=40m=30m∠+∠=240°
为的中点,,,,.为灌溉方便,李大爷想在水井处修
(/m
建一条水渠为线段,且在上),且水渠两边的菜地面积相等,已知修建该水渠的费用为60元,
请你帮助李大爷计算修建这条水渠所需的总费用.
【思路点拨】
(1)根据三角形中位线定理即可求解;
=∥
(2)取的中点,的中点,连接,延长至,使,由三角形中位线定理可得,
1
==Δ≅Δ
2,,于是可通过证明,得到Δ=Δ进而得到Δ=四边形
由对边平行且相等的四边形为平行四边可得四边形平行四边形,以此即可求解;
(3)取的中点,连接,作∥交于点,∥于点,过点作⊥于点,过
⊥=
点作于点,由梯形的面积公式可知梯形梯形易得四边形,四边形为平
==40m==30m360°∠+∠=120°
行四边形,得到,,由四边形内角和为得,由平行线
+∠=120°∠=60°30°
的性质得,再根据三角形内角和定理得,由含的直角三角形性质得
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