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兰彻斯特方程

又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在《战斗中的飞机》一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。1945年，J.H.恩格尔撰文肯定了兰彻斯特定律的实践意义。他曾经根据在第二次世界大战中美军攻占日军防守的琉璜岛之役的作战数据，计算了各方的消灭率系数，且用这两个系数结合美军的兵力增补率构成一个特殊的兰彻斯特方程。它的数值解相当准确地与该次作战中的实际兵力变化进程相吻合。从此，这门理论得到不断发展。它主要研究两类问题：一是作战对抗过程的描述，即根据典型的对抗态势和火力条件建立兵力消灭过程的微分方程组及其解法，借以预测作战进程和获胜条件；二是战术策略的优化，即寻找投入兵力、分配火力和支援保障行动等的最优策略序列。

兰彻斯特方程

假设甲、乙两方在?t时拥有的现存实力（或者比率，即现存的与初始的实力之比）分别为x、y，且在单位时间内被对方一个实力单位所消灭的实力单位分别为α、b，称作消灭率。双方实力单位不能同时被消灭，而且从已被消灭的实力单位向现存实力单位转移火力的时间为零。于是，假设单位时间内火力对抗次数为G(t)，则双方的实力变化可表述为：

初始条件为?x(0)=x0，y(0)=y0。这就是兰彻斯特方程。在引入甲方对乙方的损失比E=α/b后，由?，立刻解得。这个等式称为兰彻斯特平方律。显然，x≥0，y=0表示甲方获胜，且由平方律可知，甲方获胜条件为：?。类似的，可写出乙方获胜条件。1940年，B.O.库普曼求得上述微分方程的显式表示式：

，

，

式中；chτ，shτ是τ的双曲函数。

推广型兰彻斯特方程

为适应其他形式的对抗态势和火力条件，又发展了兰彻斯特方程的几种推广型式(初始条件一般不变)。

含自然损失与兵力补充率的兰彻斯特方程

它可表述为

式中?α、β?分别表示由于自然环境(包括敌方破坏的)条件引起甲、乙方每一实力单位的损失率，p，q分别表示各方实力的补充率。P.M.莫尔斯在《运筹学方法》一书中给出了常系数时的方程的解。

大威力消灭率的兰彻斯特方程

现代武器不但杀伤力大，而且它给对方造成的实力递减率既和投入的武器数量成正比，也和对方现存实力成正比（如化学武器）。这种方程可表述为

这里x、y是现存实力比率，从而初始条件为x(0)=y(0)=1，其解为

如果在方程的右端增添自然损失、补充实力和消灭率诸项，就得到了更一般的推广。

这三类方程都是确定型的，或者说是平均性质的。

概率型兰彻斯特方程

它是为分析作战进程的状态概率而建立的一类方程。一般形式是：假设甲方实力为x，乙方实力为y时，甲方获胜的概率为p(x，y)，从而，乙方获胜的概率为1-p(x，y);又实力单位损失属于甲、乙方的概率分别为α(x，y)，b(x，y)，且双方不可能同时损失，即α(x，y)+b(x，y)=1。于是，可建立递推式

p(x，y)=α(x，y)p(x-1，y)+b(x，y)p(x，y-1)，

显然，x0时，p(x，0)=1;y0时，p(0，y)=0。特别地，若令α(x，y)=α，b(x，y)=b，以?pt(x，y)表示双方损失之和为t(t≥0)时，甲方损失x，乙方损失y=t-x的损失状态概率，则在用pt(x，y)代替p(x，y)后，对于x≤x0，y≤y0，上面的递推式依然成立，其中x0、y0分别为双方的初始实力。以上概率型方程经过均值关系的变换，可以推出确定型方程。

优化型兰彻斯特方程

它是为选择最优战术决策提出的方程，比较典型的有火力分配问题。在最简单的情况下，假设甲方拥有两种实力，分别为y1、y2个单位，对乙方的消灭率各为b1、b2；乙方拥有实力单位x个，需要组成两群按照φ、1-φ的比例分别对甲方的两种y1、y2单位进行攻击，消灭率各为α1、α2。问题是如何选择分配率φ（它是时间序列），在双方实力消灭过程满足

0≤φ≤1，?y1、y2≥0

等诸条件下，使得在过程终止时T，乙方的现存实力相对价值函数达到最大。式中r1、r2分别表示甲、乙方的实力补充率；r、p、q为价值系数；T为过程终止时间。这是研究兰彻斯特方程的新近理论模型，反映了与控制理论结合的趋向。

兰彻斯特方程理论虽有相当的进展，但由于作战现象的复杂性，只在大量重复、独立运用同类火力和简单条件下的作战问题上取得了一些宏观分析的成果。为了解决实用的需要，从20世纪60年代以来，计算机作战模拟技术发展很快，可用于取得近似结果和验证兰彻斯特方程。它与兰彻斯特方程的结合是今后的重要发展方向。