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定比点差法专题
专题定比点差法
在处理解析几何“中点弦”问题时,我们常用的方法是“点差法”,该法模式化强,计算量小,学生易
于掌握,其实在面临“非中点弦”问题时,我们依然可以使用“点差法”,只是在处理非中点问题时,需要
根据线段所分得的比值做代数处理,一般把这种方法叫做“定比点差法”,定比点差法是一种利用特殊
的代数结构进行处理双动点都在曲线上的方法.相比于传统的点差法,定比点差在处理三点共线、相
交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势.在讲定比点差法前,我们先引出定比分点的
概念.
知识点一:定比分点
若AP=λPB,则称点P为点A,B的λ定比分点.若λ0,点P在线段AB上,此时称点P为内分
点;若λ0,点P在线段AB的延长线上,此时称点P为外分点.不管是内分点还是外分点,满足AP
x+λxy+λy
=λPB,设Ax,y,Bx,y,则点P的坐标为P12,12
11221+λ1+λ
AP
①点在线段AB上λ=∈0,1
PB
AP
②点在线段AB的延长线上λ=∈-∞,-1
PB
AP
③点在线段AB的反向延长线上λ=∈-1,0
PB
补充定义:当λ=-1时,对应的定比分点可以认为是无穷远点.
知识点二:定比点差法性质
【性质1】:线段定比分点向量公式及坐标公式
OA+λOBx+λxy+λy
1212
已知AP=λPB,设Ax,y,Bx,y,则OP=,P,.
11221+λ1+λ1+λ
【证明】:证法一:设Px,y,
00
OA+λOBx+λxy+λy
∵AP=λPB,∴OP-OA=λOB-OP,∴OP=,∴P12,12.
1+λ1+λ1+λ
证法二:设Px,y,则AP=x-x,y-y,λBP=λx-x,y-y,
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