人教版初中数学同步讲义九年级上册专题03 二次函数的最值与存在性问题（20题）（原卷版）.pdf

专题第03讲二次函数的最值与存在性问题（20题）

1．（2023春•鼓楼区校级期末）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，四

边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

（1）试猜想筝形的对角线有什么位置关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想；

（2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD＝6．试求当AC，BD的长度

为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？

2．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s

的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点

同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．

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（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm；

（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．

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3．（2023春•汉寿县期中）如图，抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与

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y轴交于点C（0，﹣3），点D为直线OD与抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）在x轴下方的一个交点，点P

为此抛物线上的一个动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线OD为，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P在直线OD下方时，求△POD面积

的最大值．

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4．（2023•鄄城县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，

与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直

线BC的上方．

（1）求这个二次函数及直线BC的表达式．

（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．

（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO

为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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5．（2023春•铜梁区校级期中）如图，已知二次函数y＝x﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交

于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD．

（1）求S△COD；

（2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x

轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移个单位长度得到新抛物线y，点M在新抛

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物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请直

接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．

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6．（2023•襄阳模拟）已知抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）经过点M（﹣2，）和N（2，﹣）两点，且抛

物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

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（1）若点M是抛物线y＝ax+bx+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；

（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形APCN面积的最大值及此时点P

的坐标；