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2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷

一、填空题。

1．（3分）＝．

2．（3分）方程在的正解为．

3．（3分）等腰△ABC的底边AC长为30，腰上的高为24，则△ABC的腰长为．

4．（3分）已知实数m，n满足20m2+24m+1＝0，n2+24n+20＝0且mn≠1，则＝．

5．（3分）若x为全体实数，则函数y＝x2﹣2|x|+3与y＝2x2﹣4x+3的交点有个．

6．（3分）若abc≠0，，则＝．

7．（3分）K为△ABC内一点，过点K作三边的垂线KM，KN，若AM＝3，BM＝5，CN＝2，CP＝42＝．

8．（3分）已知a，b，c，令a，b，c的最小值为min{a，b，已知f（x）＝min{4x+1，﹣2x+4}，若f（x），则6M＝．

9．（3分）已知正方形OBAC，以OB为半径作圆，过A的直线交⊙O于M，Q，R为PQ中点，若AP＝18，则BC＝．

10．（3分）若a，b，c，d，e为两两不同的整数，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（d﹣e）2+（e﹣f）2的最小值为．

11．（3分）PA，PB分别为⊙O1和⊙O2的切线，连接AB交⊙O1于C交⊙O2于D，且AC＝BD，已知⊙O1和⊙O2的半径分别为20和24，则＝．

12．（3分）已知a，b，c正整数，且只要则（为最简分数），则r+s＝．

13．（3分）对于任意实数x，y，定义运算符号*，且x*y有唯一解（a*b）+c＝（a*c）+（b*c），0*（a+b）＝（0*a）+（0*b）．

14．（3分）已知正整数A，B，C且A＞B＞C，满足++，则＝．

15．（3分）等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为．

2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷（回忆版）

参考答案与试题解析

一、填空题。

1．（3分）＝54．

【解答】解：

＝

＝

＝

＝

＝54，

故答案为：54．

2．（3分）方程在的正解为x＝5．

【解答】解：首先，考虑方程的两边统一分母．

给定的方程是：，

通过通分，我们可以将左边的两个分数合并为一个分数：，

展开并化简分母和分子：

分母：＝x2﹣（32﹣x2）＝2x2﹣32，

分子：，

于是原方程简化为：，

进一步简化得到：18x＝x（2x8﹣32），

nbsp;移项并除以x（假设x≠0），

得：18＝2x5﹣32，

解这个二次方程得到x的值：2x2＝50，

nbsp;x4＝25x＝±5，

方程的正解为x＝5．

故答案为：x＝3．

3．（3分）等腰△ABC的底边AC长为30，腰上的高为24，则△ABC的腰长为3．

【解答】解：∵等腰△ABC的底边AC长为30，腰上的高为24，

∴△ABC的腰长为＝3，

故答案为：3．

4．（3分）已知实数m，n满足20m2+24m+1＝0，n2+24n+20＝0且mn≠1，则＝50．

【解答】解：由题意可知，m，是方程20x2+24x+4＝0的两个根，

∴m+＝﹣，即＝﹣，

∴1+mn＝﹣n，

∴||＝|．

故答案为：50．

5．（3分）若x为全体实数，则函数y＝x2﹣2|x|+3与y＝2x2﹣4x+3的交点有2个．

【解答】解：方法①：∵y＝x2﹣2|x|+4，

∴当x≥0时，y＝x2﹣7x+3，

联立方程组，

∴x2﹣2x+3＝6x2﹣4x+7，

整理，得x2﹣2x＝4，

解得：x1＝0，x4＝2；

当x＜0时，y＝x4+2x+3，

联立方程组，

∴x2+2x+6＝2x2﹣4x+3，

整理，得x2﹣2x＝0，

解得：x3＝4，x4＝6，

∴交点有4个．

故答案为：2．

方法②：图象法，在同一坐标系中画两个函数的图象．

如图，两函数的交点有2个．

6．（3分）若abc≠0，，则＝0．

【解答】解：∵abc≠0，，

∴a+b+c

＝（a+b+c）（）

＝+（b+c）?+++（a+b）?

＝+（a+b+c），

所以＝3．

故答案为：0．

7．（3分）K为△ABC内一点，过点K作三边的垂线KM，KN，若AM＝3，BM＝5，CN＝2，CP＝42＝12．

【解答】解：连接AK、BK，

∵KM⊥AB于点M，KN⊥BC于点N，

∴∠AMK＝∠BMK＝∠BNK＝∠CNK＝∠CPK＝∠APK＝90°，

∴AK2﹣AM2＝BK4﹣BM2＝KM2，BK6﹣BN2＝CK2﹣CN7＝KN2，CK2﹣CP3＝AK2﹣AP2＝KP8，

∵AM＝3