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点估计例如
1.设总体的概率分布为
其中未知，取得了样本值，试求的最大似然估计值及矩估计。
2.设总体的分布函数为，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，求：
(1)试求的矩估计量；
(2)试求的最大似然估计量；
解：的分布密度函数为
〔1〕.由于
令，得
所以的矩估计量为
(2).似然函数为
当时，，取对数
求导，令
所以的最大似然估计量为
3.设总体的分布函数为，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，求：
(1)当时，试求的矩估计量；
(2)当时，试求的最大似然估计量；
〔3〕当时，试求的最大似然估计量；
解：〔1〕，〔2〕同上题
〔3〕当时，的分布密度函数为
似然函数为
当时，越大，越大，
所以的最大似然估计量为
4.设总体的概率密度函数为,其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数。求：
(1)试求的矩估计量；
(2)试求的最大似然估计量；
解：〔1〕由于
令，得
所以的矩估计量为
〔2〕似然函数为
取对数
求导，令
所以的最大似然估计量为
5.设总体的概率密度为，其中为未知参数。又设样本为,，样本的观察值为,，
(1)试求的极大似然估计〔记为〕；
(2)问是否为的无偏估计，试说明理由。()
解:(1)极大似然函数,
取对数,
求导,得的极大似然估计记为
(2),
而
,所以是无偏估计。
6.设为来自总体的简单随机样本,是样本均值，，，
(1).证明是的无偏估计。
(2).当时，求。
解：
〔1〕
又,所以
所以。
(2).因为，相互独立，所以，相互独立，所以
。
当时，
～，所以～，所以～，
又因为～，此题中，所以～，
根据，，得
7．设总体的概率分布为
其中未知，以表示来自总体的简单随机样本〔样本容量为〕中等于的个数〔，试求常数，使为的无偏估计量，并求的方差。
解：记，，，由于～，〔，故
于是
为使为的无偏估计量，必有
因此
由此
由于，故
，又～
所以。
8．设为来自正态总体的简单随机样本，
其中：
，未知，是样本均值，是样本方差，
(1).试求的最大似然估计量；
(2).试求,。
解：
(1).似然函数为
取对数
求导=0，得
(2).因～，所以
，所以
。
9.设随机变量相互独立，且分别服从和,其中是未知参数，且大于零，设,求
〔1〕的密度函数
〔2〕.设为总体的简单随机样本，求的最大似然估计。
〔3〕证明是的无偏估计。
解：
〔1〕相互独立，所以服从正态分布，又，
所以的密度函数。
〔2〕.似然函数为
取对数
，
求导，令=0，得
得的最大似然估计=。
〔3〕因为==,
所以是的无偏估计。
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