xx学院《高等代数1-2》教学大纲.docx

《高等代数1/2》教学大纲

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一、课程基本信息

课程编码：061104B/5B???062104B/5B

中文名称：高等代数1/2

英文名称：AdvancedAlgebra?1/2

课程类别：专业基础及核心课

总?学?时：165

高等代数1：90学时(理论76，实践14)

高等代数2：75学时(理论64，实践11)

总?学?分：9

高等代数1：5

高等代数2：4

适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学

先修课程：数学分析1、空间解析几何

二、课程的性质、目标和任务

高等代数是数学与应用数学专业重要的基础课程之一,是理论性、应用性很强的一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识,提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；以及应用数学知识建立数学模型解决实际问题的能力；使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习数学学科后续课程（如抽象代数、离散数学、数值分析、常微分方程、泛函分析、运筹学等）提供必要的基础理论知识；为学生在创新能力培养等方面获得重要的平台。

高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。

考虑到数学与应用数学专业学生的应用和拓展提高，对对称多项式、若尔当标准形作了必要的要求。并要求对拉普拉斯定理、分块矩阵的初等变换和复数域上的内积空间（主要包括酉矩阵和埃尔米特矩阵）虽然讲授，但把重点放在应用上面，删除了二元高次方程组内容。特征值和特征向量是重中之重，要让矩阵的特征值和特征向量与线性变换的特征值和特征向量这两驾马车并驾齐驱，直接深入到线性变换（矩阵）多项式、线性变换（矩阵）的逆变换（矩阵）以及伴随矩阵的特征值和特征向量。

本课程分两个学期开设，高等代数1在第二学期开设，高等代数2在第三学期开设。

三、课程教学基本要求

1、习题课—教师应进行典型问题分析，方法总结，难题讲解，与学生黑板演题相结合，训练学生的逻辑思维能力，解题能力和思维严密性。

2、习题作业—每次课后要配以一定量的书面习题作业。作业每周批改一次。

3、教学辅导—要求教师答疑辅导。

4、作业布置：课后作业正题基本全布置，补充题由教师按具体情况给部分优秀学生布置。

5、作业批改：按学院统一要求。

四、课程教学内容及要求

第一章?多项式（20学时）

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【教学目标与要求】

1、教学目标：

多项式内容是学习高等代数其他内容的基础，本章主要学习一元多项式与多元多项式内容。通过本章内容的学习，使学生应理解数域、一元多项式、整除的概念、最大公因式和最小公倍式、因式分解定理、重因式、多项式函数、复系数与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式、多元多项式、对称多项式等概念和知识，为以后各章学习打下基础。

2、教学要求：

1）掌握数域的定义，并会判断一个代数系统是否是数域；知道有理数域是最小的数域，而复数域是最大的数域，如果以包含关系论大小，这两个数域是所有数域的下界和上界。

2）理解数域P上一元多项式的定义，会确定多项式的各项次数和首项，多项式的加法、减法和乘法；知道乘积的首项等于首项的乘积，理解多项式乘法的消去律；掌握加法和乘法的交换律和结合律以及乘法对加法的分配律。

3）理解整除的定义，熟练掌握带余除法和整除的性质。

4）理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。理解两个多项式的最小公倍式的概念，掌握最小公倍式与最大公因式之间的关系。

5）理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解因式分解及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式，并会用标准分解式求两个多项式的最大公因式和最小公倍式。

6）正确理解和重因式的定义，掌握重因式定理及其推论，会用辗转相除法求多项式的重因式。

7）掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根与一次因式的关系。理解多项式相等与多项式函数相等的一致性。

8）理解代数基本定理及多项式根的个数与多项式次数的关系，掌握复系数多项式的根与系数的关系。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。

9）理解本原多项式的定义，掌握有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系；掌握高斯引理及其推论，会求整系数多项式的有理；会用Eisenstein判别法判定整系数多项式的可约性，知道Eisenstein判别法是判定整系多项式在有理数域上可约的充分条件，但不是必要条件。

10）理解多元多项式定义，会用字典排列法确定多项式的首项；理解多元多项式相等与多元多项式函数相等的一致性。

11）理解对称多项式的定义，