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结构动力学

;结构动力学

第六章

多自由度体系的运动方程;第六章多自由度体系的运动方程

以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运动仅需一个运动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。

工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如二层以上的框架结构、多跨及大跨梁结构、平面网架结构等等。;第六章多自由度体系的运动方程

虽然在一些简单的估算中可以采用广义坐标法将一个多自由度体系化为单自由度问题求得近似解，例如多层结构抗震设计时采用的简化分析方法—基底剪力法。对于一个烟囱，也可以采用如下形函数，

化为一个单自由度问题进行初步分析，其中H为烟囱的高度，z为位置坐标，而q(t)为广义坐标。如果形函数取得较好，而外荷载又按某一形式分布，则用等效单自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。;第六章多自由度体系的运动方程

建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平衡法(d’Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。

但基于矩阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange方法应用更广泛一些。

结构单元矩阵(刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵)。;6.1直接平衡法

首先复习一下结构力学中的刚度阵法（矩阵位移法）

如果为N层结构，自由度为N，每一楼层有集中质量mi，外荷载pi，层间刚度ki，各层的水平运动为ui，i=1,…,N。这个层间模型也可以转化成质点—弹簧模型。;6.1直接平衡法

应用d’Alember原理

fIi—惯性力；

fDi—阻尼力；

fsi—弹性恢复力；

pi—外力。

共有N个方程，上式也可以写成矩阵形式。

;6.1直接平衡法

弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一般表达式为：

系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：

kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力

即j自由度给定一个单位位移，

而其余自由度都不动时，

所需要的力（反力）。;6.1直接平衡法

弹性恢复力

对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式，

{fs}称为弹性恢复力向量，

[k]称为刚度矩阵，

{u}—称为位移向量。;6.1直接平衡法

对于三层结构，

刚度矩阵为：

;6.1直接平衡法

对于惯性力也可以用矩阵的形式表达：

其中{fI}称为惯性力向量，{M}称为质量矩阵，{ü}为加速度向量。质量矩阵中的系数mij为质量影响系数，简称质量系数或质量，它的含义是：

mij—由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力

即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自由度加速度为零时，所需要的力。;6.1直接平衡法

对于三层结构，

忽略柱的质量，

体系的质量矩阵为：

;6.1直接平衡法

若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可以建立如下阻尼力向量的计算公式：

其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，{ú}为速度向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物理意义：

cij—由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力

结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如与刚度成正比等。;6.1直接平衡法

外荷载向量可写成：

其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。

;6.1直接平衡法

如果进一步考虑轴力的影响，例如由结构自重的存在引起的附加（弯矩）二阶力，这些附加荷载也可以用矩阵形式表达

其[kG]称为几何刚度矩阵，其中的任一个元素kGij的物理意义如下：

kGij—由第j个自由度单位位移和结构中轴力

共同引起的i自由度的附加力;6.1直接平衡法

梁单元的刚度矩阵：

集中质量矩阵：

Lumped-mass

一致质量矩阵：

Consistent-mass;6.2Lagrange运动方程

我们在第二章中介绍了Lagrange运动方程，但没有实际应用。用Lagrange运动方程来建立结构体系的运动控制方程对那些不易直接用动平衡方法建立运动方程的问题有时是特别有效的，特别是当结构动力分析时采用了不易直观判断的广义坐标时更是如此。例如，用幂级数展开烟囱或等效高层结构的横向位移

式中qi(t)（i=2,N+1）为广义坐标，直接采用