哈密顿正则方程.pptx

5.6哈密顿正则方程;数学准备：勒让德变换;勒让德变换推广：;正则方程;;循环坐标和能量积分;循环坐标和能量积分;H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情况来讨论.;（ii）不稳定约束;例求解有心力下质点的运动规律;例求解有心力下质点的运动规律;例求解有心力下质点的运动规律;;例写出粒子在中心势场V=?α/r中哈密顿函数和正则方程.;可以解得正则方程：;例3分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个自由质点在势场V()中的哈密顿函数H.;;;;例6应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律.设电子的电荷量为－e，原子核带电为Ze，Z为原子序数.;;;在拉格朗日动力学中,从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程.在哈密顿动力学中,必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数,才可写出动力学方程即哈密顿正则方程,从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一条路径达到拉格朗日方程,所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便.

哈密顿动力学的优点之一是便于量子化.另一个优点在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义速度并不对等,只能对广义坐标进行变换,而广义速度也随之而变.哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换.;以广义动量代替广义速度，把拉格朗日方程化为正则方程。正则方程为一阶方程，一阶方程比二阶方程易解；更重要的是，正则方程具有更多的对称性，有利于进行深入的研究。

哈密顿理论的发展表明：广义动量比起广义速度来，包含了更多的动力学信息，能够更广泛地描述物理规律，能够更深刻地揭示物理规律及其对称性，能够更方便地完成从经典力学发展到量子力学的飞跃。;5.7哈密顿原理;力学中的几何公理;最速降线问题;问题的困难之处：;轨道不同T也不同.一般地说,一个变量T,其值取决于函数y＝f(x),就叫做函数f(x)泛函,记做T[f(x)]=T(f).;问题的困难之处：;变分问题的研究方案;假设有两个变量A和B，它们一般是q、p、t的函数，则：;如图所示，设质点m沿c运动，而想象另一质点沿运动，它们同时自P1出发，并同时到达P2。;如果P及是c及上两对应点，即m和同时自P1出发，分别沿着c和运动，当m到达P时，到达，Q点是P点附近的一点，并且和P在同一轨道c上。;可见：与d的先后次序可以对易。;一般来讲，与的先后次序不能对易;至于与的先后次序不能对易的那种变分，叫做不等时变分或全变分。用来代表不等时变分，所以;欧拉-拉格朗日方程;欧拉-拉格朗日方程;欧拉-拉格朗日方程;欧拉-拉格朗日方程;欧拉-拉格朗日方程;速降线问题;设n个质点所形成的力学体系受有k个几何约束，则这力学体系的自由度是：s=3n-k，因此，我们如果能够做到把s个广义坐标作为时间t的函数加以确定，我们也就确定了这力学体系的运动。;哈密顿原理;解;真实情况的作用量是最小的！;哈密顿原理可以和牛顿动力学方程、达朗贝尔原理、达朗贝尔－拉格朗日方程（动力学基本方程）、拉格朗日方程一样作为力学的第一性原理，但更有其优越性：从整体考察体系的运动规律，挑出真实运动。这是积分形式的变分原理的优点；具有直观紧凑的形式δS=0；Hamilton原理着眼于能量，便于推广到光学、电磁场理论、量子理论等（经推广后的拉格朗日函数，不再限于L=T?V）。事实上Hamilton原理已成为现代物理学理论中的第一性原理。物理学理论众多领域中的第一性原理都可以表为形如Hamilton原理那样的原理。

;例试由哈密顿原理导出正则方程.;因端点是固定的,所以;例2（5.29）试用拉格朗日方程解2.4题中的(a)及(b)。

质量为m1的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求(a)劈的加速度；(b)质点水平方向的加速度。;(以m1初始状态为势能零点);0;即：;两式联立得：;小结