高中数学数列-错位相减法求和专题训练含答案.docx

高中数学数列_错位相减法求和专题训练含答案

错位相减法求和专题训练

1．已知数列满足，且.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和；

(3)设，证明：

2．设正项数列的前项和为，且满足，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若正项等比数列满足，且，数列的前项和为.

①求；

②若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围.

3．已知，设是单调递减的等比数列的前项和，且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，求证：对于任意正整数，.

4．递增的等比数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求成立的正整数的最小值.

5．已知数列及，且,.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）求证:.

6．已知数列是以2为首项的等差数列，且成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；

（Ⅱ）若，求数列的前项之和.

7．在数列中，，前项和满足.

（1）求证：当时，数列为等比数列，并求通项公式；

（2）令，求数列的前项和为.

8．已知等差数列的前n项和，且，数列满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）记为数列的前n项和，，试问是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

9．已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

10．已知单调递增的等比数列满足：，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为,成立的正整数的最小值.

参考答案

1．解析：（1）当为奇数时，，此时数列成等差数列．

当当为偶数时，，此时数列成等比数列

（2）

(3)

为奇

为偶

2．解析：(1)，，∴，

∴且各项为正，∴

又，所以，再由得，所以

∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴

(2)∴，

①，②

∴，

恒成立

∴，即恒成立.

设，

当时，；时，

∴，∴.

点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键.

3．解：（1）设数列的公比，由，

得，

即，∴．是单调递减数列，∴，∴

（2）由（1）知，

所以，①

，②

②-①得：，

，

由，得，

故

又，因此对于任意正整数，

点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题.

4．解析：（1）设等比数列的公比为

由已知，.则，则

两式相除得，

∵数列为递增数列，∴，则，所以.

（2），

设，①

，②

①②得：

，

，

，即，

，∴正整数的最小值是.

点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．

5．解析：（1）由已知，所以.

，所以.

，所以.

（2）令，则，①

，②

两式相减，得

，

所以,即，

又也满足上式，

所以数列的通项公式为.

（3），

所以，③

，④

①-②得

，

所以.又，∴，故.

又，

所以是递增数列，故.

所以.

【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

6．解析：(Ⅰ)设数列的公差为，由条件可得，即，

解得或（舍去），

则数列的通项公式为，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

则，①

，②

将①-②得

，

则.

【易错点晴】本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及“错位相减法”求数列的和，属于中档题.“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.

7．解析：（1）

当时，得，

得

(2)当时，当时，

当时，

当时，

令

经检验时，也适合上式．

．