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四边形压轴专题训练
参考答案与试题解析
1.(2015?临沂)如图1,在正方形ABCD的外侧,作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(1)请判断:AF与BE的数量关系是相等,位置关系是互相垂直;
(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予说明;
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.
【解答】解:(1)AF与BE的数量关系是:AF=BE,位置关系是:AF⊥BE.
答案是:相等,互相垂直;
(2)结论仍然成立.
理由是:∵正方形ABCD中,AB=AD=CD,
∴在△ADE和△DCF中,,
∴△ADE≌△DCF,
∴∠DAE=∠CDF,
又∵正方形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠BAE=∠ADF,
∴在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF,
∴BE=AF,∠ABM=∠DAF,
又∵∠DAF+∠BAM=90°,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴在△ABM中,∠AMB=180°﹣(∠ABM+∠BAM)=90°,
∴BE⊥AF;
(3)第(1)问中的结论都能成立.
理由是:∵正方形ABCD中,AB=AD=CD,
∴在△ADE和△DCF中,,
∴△ADE≌△DCF,
∴∠DAE=∠CDF,
又∵正方形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠BAE=∠ADF,
∴在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF,
∴BE=AF,∠ABM=∠DAF,
又∵∠DAF+∠BAM=90°,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴在△ABM中,∠AMB=180°﹣(∠ABM+∠BAM)=90°,
∴BE⊥AF.
2.(2014?绵阳)如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.
(1)求证:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
(3)如图2,若P为线段EC上一动点,过点P作△AEC的内接矩形,使其顶点Q落在线段AE上,定点M、N落在线段AC上,当线段PE的长为何值时,矩形PQMN的面积最大?并求出其最大值.
【解答】(1)证明:由矩形和翻折的性质可知:AD=CE,DC=EA,
在△ADE与△CED中,
∴△DEC≌△EDA(SSS);
(2)解:如图1,
∵∠ACD=∠BAC,∠BAC=∠CAE,
∴∠ACD=∠CAE,
∴AF=CF,
设DF=x,则AF=CF=4﹣x,
在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,
即32+x2=(4﹣x)2,
解得:x=,
即DF=.
(3)解:如图2,由矩形PQMN的性质得PQ∥CA
∴
又∵CE=3,AC==5
设PE=x(0<x<3),则,即PQ=
过E作EG⊥AC于G,则PN∥EG,
∴=
又∵在Rt△AEC中,EG?AC=AE?CE,解得EG=,
∴=,即PN=(3﹣x),
设矩形PQMN的面积为S,
则S=PQ?PN=﹣x2+4x=﹣+3(0<x<3)
所以当x=,即PE=时,矩形PQMN的面积最大,最大面积为3.
3.(2014?威海)猜想与证明:
如图1,摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B、C、G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.
拓展与延伸:
(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为DM=ME,DM⊥ME.
(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.
【解答】猜想:DM=ME
证明:如图1,延长EM交AD于点H,
∵四边形ABCD和CEFG是矩形,
∴AD∥EF,
∴∠EFM=∠HAM,
又∵∠FME=∠AMH,FM=AM,
在△FME和△AMH中,
∴△FME≌△AMH(ASA)
∴HM=EM,
在RT△HDE中,HM=EM,
∴DM=HM=ME,
∴DM=ME.
(1)如图1,延长EM交AD于点H,
∵四边形ABCD和CEFG是正方形,
∴AD∥EF,
∴∠EFM=∠HAM,
又∵∠FME=∠AMH,FM=AM,
在△FME和△AMH中,
∴△FME≌△AMH(ASA)
∴HM=EM,
在RT△HDE中,HM=EM,
∴DM=HM=ME,
∴DM=ME.
∵四边形ABCD和CEFG是正方形,
∴AD=CD,CE=CF,
∵△FME≌△AMH,
∴EF=AH,
∴DH=DE,
∴
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