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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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湖南省长沙市望城区第二中学2025届高三上学期开学考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点,则的值为(????)
A. B. C. D.
2.已知向量在方向上的投影向量的模为,向量在方向上的投影向量的模为1,且,则(????)
A. B. C. D.
3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()
A.(-2,7) B.(-6,21)
C.(2,-7) D.(6,-21)
4.函数的定义域为,且,若,则函数(????)
A.以为周期 B.最大值是1
C.是函数的一个对称中心 D.既不是奇函数也不是偶函数
5.如图,在中,是边上的点,且满足,,,则
A. B. C. D.0
6.已知函数有唯一的极值点,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
7.中,,,是外接圆圆心,是的最大值为(????)
A.1 B. C.3 D.5
8.如图,已知椭圆和双曲线具有相同的焦点,,A、B、C、D是它们的公共点,且都在圆上,直线与x轴交于点P,直线与双曲线交于点,记直线、的斜率分别为、,若椭圆的离心率为,则的值为(?????)
??
A.2 B.
C. D.4
二、多选题
9.不等式“”的一个必要不充分条件是(????)
A.或 B.或
C.或 D.或
10.已知等差数列的前项和为,若,,则(????)
A.
B.若,则的最小值为
C.取最小值时
D.设,则
11.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线交抛物线于两点,为坐标原点,若,则下列说法正确的是(????)
A. B.直线的斜率为
C. D.
三、填空题
12.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将1,2,…,9填入的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数填入个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为,如图三阶幻方的,那么的值为.
13.由球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA,PB,PC,且,,,则球O的半径.
14.已知双曲线的左、右焦点分别为,,为双曲线右支上的一点,为的内心,且,则的离心率为.
四、解答题
15.化简求值:
(1)化简:;
(2)求的值.
16.如图,四棱锥中,,,底面中,,,,是线段上一点,设.
(1)若,求证:平面;
(2)是否存在点,使直线与平面所成角为,若存在,求出;若不存在,请说明理由.
17.某企业使用新技术生产某种产品,该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序,生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测,智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.
(1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测,求这件产品中的次品数的分布列和数学期望;
(2)若智能自动检测的准确率为,求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.
18.对于函数,(),.
(1)当曲线在点处的切线方程为时,求、;
(2)当,且时,过曲线上任一点作轴的垂线,与曲线交于点,若点在点的下方,求的取值范围.
19.以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,已知过点且斜率为1的直线与曲线:(是参数)交于两点,与直线:交于点.
(1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(2)若的中点为,比较与的大小关系,并说明理由.
答案第=page11页,共=sectionpages22页
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参考答案:
1.D
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意,.
故选:D.
2.B
【分析】根据投影向量的模长公式计算出,再由向量垂直关系列出方程,求出,得到夹角.
【详解】由题可得所以.
因为,所以,
所以,所以,
即.
因为,所以.
故选:B.
3.B
【分析】由三角形的中线对应的向量为两相邻边对应向量和的,再用向量的坐标运算求值.
【详解】点是的中点
∴,
,
,
故答案为(-6,21)
【点睛】本题考查三角形的中线对应的向量与两相邻边对应向量的关系及向量共线的充要条件.
4.D
【分析】利用赋值法,分别令、,、,、,得到,即可得到解析式,再逐项判断.
【详解】因为且,
令
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