新高考数学一轮复习考点过关练习 平面向量的线性运算（含解析）.doc

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微专题：平面向量的线性运算

【考点梳理】

1.向量的线性运算

运

算

定义

法则

(或几何意义)

运算律(性质)

加

法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立

减

法

求两个向量差的运算

a－b＝a＋(－b)

数

乘

求实数λ与向量a的积的运算

λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|；

其方向：λ0时，与a方向相同；λ0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0

设λ，μ∈R，则

λ(μa)＝μ(λa)；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

2、进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.

3、加法运算的推广

(1)加法运算的推广：eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).

(2)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).

4、线性运算重要结论

(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).

(2)若G为△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.

(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.

(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(n,m＋n)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(m,m＋n)eq\o(AC,\s\up6(→))，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).

【题型归纳】

题型一：平面向量的加法

1．正方形SKIPIF10中，点SKIPIF10是SKIPIF10的中点，点SKIPIF10是SKIPIF10的一个三等分点，那么SKIPIF10（???????）

A．SKIPIF10

B．SKIPIF10

C．SKIPIF10

D．SKIPIF10

2．已知等腰SKIPIF10的直角边长为1，SKIPIF10为斜边SKIPIF10上一动点，则SKIPIF10的最小值为（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

3．如图，在SKIPIF10正方形网格中，向量SKIPIF10，SKIPIF10满足SKIPIF10，则SKIPIF10（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

题型二：平面向量的减法

4．如图，SKIPIF10是SKIPIF10两条对角线的交点，则下列等式成立的是（???????）

A．SKIPIF10