2022-2023学年高二物理竞赛习题：能带的近似理论.pdf

能带的近似理论

能带的近似理论

能带论是一种近似理论，主要有三个假设(近似):

.认为离子实是静止不动的

.理由之一：原子振动相对于原子间距是很小

的，5所以电子感觉到晶格的畸变很小(正

常态);

.理由之二：原子质量大，相对与电子的运动

速度慢。

能带的近似理论

2)单电子近似

.其他电子的影响忽略，或归结到势场。

理由：由于泡利不相容原理，两电子

间的平均距离较大。

3)周期场近似

.离子实或其他电子的作用归结为一个周期

性势场：

V(r)=V(F+R,)

能带的近似理论

能带问题简化为“单电子在周期场”的运动

Hψ(r)=Eψ(r)

2m二Ey(r)

Schordinger方程的求解方法——初等量子力学

和波动力学形式。

在Heisenberg的建议下，Bloch

应用量子力学研究固体中的电子问

题。他从电子在周期性离子间运动

的图像出发，得出固体中电子运动

的波函数的一般形式(Bloch波函

数),这一理论为现代固体理论奠

定了基础(1928)

1946年他和汉森、帕卡德一起研究发展核感应原理，即

用原子核感应的方法测量由于原子核磁矩旋所感应的电

诺贝尔物理学奖。

在周期性势场中运动的电子的波

函数可写成布洛赫波的形式：

u是晶格的周期函数：

布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，或：振幅

受周期性调制的平面波。

这样的电子也称为Bloch电子(区别与自由电

子):它的波幅从一个原胞到另一个原胞时发生

周期性变化。

Bloch电子在整个晶体中运动，也称晶体电子。

单电子在等效周期势中运动时，波函数形式为：

y(F+R,)=ey(r)

即：平移晶格矢量R。时，波函数只增加一

个相因子

ik.R?

e

在一维情况下被称为Floquet定理，因为Floquet首先证明了一维情况。

H(r)y(r)=Eψ(r)

V(F)=V(F+R,)

y(F+R?)=x?V(r)

由归一性：

根据关系：BR+R=βA+β

选取线性关系：P=K·R,

口证毕

:电子波选取周期性边界(同晶格振动)

y(r)=y(F+N?d?)=

。根据Bloch波：eR,=1

K的值及物理意义1为整数

可以取：

k=H13l?

12b,

(G+

N?’N?

N?N?

N?N?I

根据周期性，可以把1;限制在第一布里渊区：

-2.-+n.…

K态在第一BLZ均匀分布，总数为N,密度为：

V3/(2π)3

K的值及物理意义

K的意义：K是Bloch波的波矢，但hK并不

是电子的动量。

hK被称为“晶体动量”,K是描述电子状

态的一个量子数。

思考复习

1.简单说明原子的能级与固体能带间的联

系

解释该近似的根据。

3.能带论的单电子近似采用哪些近似?