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北京工业大学
高等数学教程
例
4.1不定积分的概念和性质
第四章不定积分
是的一个原函数,
定义4.1
如果在区间I上,
则称
或
上的一个原函数.
定理4.1(原函数存在定理)
如果函数区间I上连续,
即连续函数必有原函数.
存在可导函数
那么在区间I上
都有
使得
关于原函数的说明
(1)若
(2)若和都是的原函数,
则
(C为常数)
都是的原函数.
则对于任意常数C,
(C为常数)
积分变量
积分常数
被积函数
定义4.2
被积表达式
则f(x)的全部原函数的一般表达式
称为函数f(x)的不定积分.
记为
积分号
例1求
解
例2设曲线通过点且其上任一点处的
切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
解
设曲线方程为
由题意
所求曲线方程为
由曲线通过点
即是2x的一个原函数.
显然,求不定积分得到一积分曲线族.
例3求积分
解
函数的原函数的图形称为的积分曲线.
不定积分基本公式:
由求导公式可得出,
结论:微分运算与不定积分是广义的“互逆”运算.
性质4.1
性质4.2
例4求不定积分
解
解
原式
例5求不定积分
解
原式
例6求不定积分
解
原式
例7求不定积分
解
原式
例8求不定积分
解
原式
例10求不定积分
解
原式
例9求不定积分
解
说明:以上例题中的被积函数都需要进行恒等
变形,才能使用基本积分表.
例11求不定积分
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