4.3对数7题型分类（讲+练）（原卷版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

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4.3对数7题型分类

一、对数的概念

(1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)两种特殊的对数

①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN；

②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)．

二、对数与指数的关系

(1)对数的基本性质

①负数和0没有对数，即真数N0；

②1的对数为0，即loga1＝0(a0，且a≠1)；

③底数的对数等于1，即logaa＝1(a0，且a≠1)．

(2)两个重要的对数恒等式

①alogaN＝N(a0，且a≠1，N0)；

②logaaN＝N(a0，且a≠1)．

在对数的概念中规定a0且a≠1的原因

(1)若a0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．

(2)若a＝0，

①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；

②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．

(3)若a＝1，

①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；

②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．

因此规定a0，且a≠1.

三、对数运算性质

如果a0，且a≠1，M0，N0，那么

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

四、换底公式

(1)对数的换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1；b0；c0，且c≠1).

(2)三个较为常用的推论

①logab·logbc·logca＝1(a0，b0，c0，且均不为1)；

②logab＝eq\f(1,logba)(a0，b0，且均不为1)；

③logambn＝eq\f(n,m)logab(a0，b0，且均不为1，m≠0)．

(1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．

(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．

(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件．

(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaeq\f(M,N)＝eq\f(logaM,logaN)，logaMn＝(logaM)n.

(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg5＋lg2＝lg10＝1.

（一）

对数的概念

对数有意义的两个条件：

①底数大于零且不等于1；

②对数的真数必须大于零．

题型1：对数的概念

1-1．（2024高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是.

1-2．（2024高一上·全国·课后作业）在中，实数a的取值范围是

A．B． C． D．

1-3．（2024高一上·上海浦东新·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是.

1-4．（2024高一上·上海虹口·期中）使得表达式有意义的x范围是．

（二）

指数式与对数式的互化

指数式与对数式互化的方法

(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

题型2：指数式与对数式互化

2-1．（2024高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（????）

A．与 B．与

C．与 D．与

2-2．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化．

(1)log2

(2)；

(3)；

(4).

(5)；

(6)；

(7)；

(8)．

(9)；

(10)；

(11)；

(12)．

2-3．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化．

(1)

(2)

(3).

(4)；

(5)；

(6)；

(7).

（三）

利用指数式与对数式的关系求值

指数式与对数式的关系求值的基本方法

①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．

②利用幂的运算性质