2.1等式性质与不等式性质5题型分类（讲+练）（原卷版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

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2.1等式性质与不等式性质5题型分类

一、等式的基本性质

(1)如果a＝b，那么b＝a.

(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.

(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.

(4)如果a＝b，那么ac＝bc

(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.

二、不等式的性质

性质

别名

性质内容

注意

1

对称性

ab?ba

?

2

传递性

ab，bc?ac

不可逆

3

可加性

ab?a＋cb＋c

可逆

4

可乘性

?acbc

c的符号

?acbc

5

同向可加性

?a＋cb＋d

同向

6

同向同正可乘性

?acbd

同向

7

可乘方性

ab0?anbn(n∈N，n≥2)

同正

【思考1】若ab，cd，那么a＋cb＋d成立吗？a－cb－d呢？

a＋cb＋d成立，a－cb－d不一定成立，但a－db－c成立.

【思考2】若ab，cd，那么acbd成立吗？

不一定，但当ab0，cd0时，一定成立.

（一）

用不等式（组）表示不等关系

(1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范.

(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换

文字语言

大于，高于,超过

小于，低于，少于

大于等于，至少，不低于

小于等于，至多，不超过

符号语言

≥

≤

(3)用不等式(组)表示不等关系的步骤

①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等.

②适当的设未知数表示变量.

③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.

题型1：用不等式（组）表示不等关系

1-1．（2024高一上·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（????）

A． B． C． D．

1-2．（2024高一上·西藏林芝·期中）下列说法正确的是（????）

A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x2000”

B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”

C．某变量x至少为a可表示为“xa”

D．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“xy”

1-3．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（????）

A．B． C． D．

1-4．（2024高一·全国·课后作业）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：．

1-5．（2024·河北衡水·模拟预测）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大?小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大?小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（????）

A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱

1-6．（2024高一上·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于1m，则所满足的不等关系为（????）

A． B．或

C． D．

（二）

利用不等式的性质判断命题的真假

(1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法.

(2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧

①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质．

②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

题型2：利用不等式的性质判断命题的真假

2-1．（2024高一下·安徽宿州·期中）下列命题中正确的是（????）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

71．（2024·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（????）

A． B． C． D．

2-2．（2024高一