1.4充分条件与必要条件5题型分类（讲+练）（原卷版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

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1.4充分条件与必要条件5题型分类

一、充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出关系

p?q

p?q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的充分条件

p不是q的必要条件

q不是p的必要条件

定理关系

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

【特别提醒】

对充分条件和必要条件的理解：

(1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sinA＝.显然p可以推出q，记为p?q，而q是不能推出p的．

(2)若p?q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．

(3)若p?q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．

（4）以下五种表述形式是等价的：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。

二、充要条件

充要条件

(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．

【特别提醒】

（1）若p是q的充要条件，则p?q，即命题p和q是两个相互等价的命题。

（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

三、从集合的角度理解充分与必要条件

若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则

（1）若，则是的充分条件；

（2）若，则是的必要条件；

（3）若，则是的充分不必要条件；

（4）若，则是的必要不充分条件；

（5）若，则是的充要条件；

（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.

四、充分性必要性高考高频考点结构

（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）

（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）

（一）

命题的概念及结构

命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.

题型1：命题真假的判断

1-1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则或

1-2．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（????）

A．且 B．或

C． D．方程有实根

1-3．（2024·河南平顶山·模拟预测）下列结论错误的是（????）

A．不大于0的数一定不大于1

B．367人中一定有同月同日出生的两个人

C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四

D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心

1-4．（2024高一上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的是（????）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

（二）

充分、必要条件的判断

1、充分条件的判断

(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题．

(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件．

(3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意端点值的取舍.

2、必要条件的判断

(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件．

(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件．

3、判断p是q的什么条件,通常有如下两种方法:

(1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的方法.通常对pq要予以证明，pq可举反例说明.

(2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题.

题型2：充分、必要条件的判断

2-1．（2024高一·全国·课后