1.2集合间的基本关系8题型分类（讲+练）（原卷版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

PAGE

PAGE1

1.2集合间的基本关系8题型分类

一、子集、真子集、集合相等的相关概念

1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．

2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)

【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？

提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．

【特别提醒】

符号“∈”与“?”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“?”表示集合与集合之间的关系．

二、空集

1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为.

2.规定：空集是任何集合的子集．

在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：

（1）空集只有一个子集，即它本身；

（2）空集是任何非空集合的真子集．

【思考】{0}与?表示同一集合吗？

提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠?.

三、集合关系的性质

1.任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.

2.对于集合A，B，C，①若A?B，且B?C，则A?C；②若AB，BC，则AC.

3.若A?B，A≠B，则A?B.

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时，要注意讨论A＝?和A≠?两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．

四、Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观．

(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．

（一）

集合间的关系判断

1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断.

2、判断集合关系的方法.

（1）观察法：一一列举观察.

（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

（3）数形结合法：利用数轴或Venn图.

提醒：若A?B和A?B同时成立，则A?B更能准确表达集合A，B之间的关系.

题型1：判断集合间的关系

1-1．（2024高一·江苏·假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（????）

A． B．

C． D．

1-2．（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（????）

A．? B． C． D．

1-3．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（????）

A．? B．? C．?? D．??

1-4．（2024高一·全国·单元测试）设集合，，则集合与的关系是．

（二）

子集、真子集

1、求集合子集、真子集个数的3个步骤

2、子集、真子集个数有关的4个结论

假设集合A中含有n个元素，则有

(1)A的子集的个数有2n个．

(2)A的非空子集的个数有2n－1个．

(3)A的真子集的个数有2n－1个．

(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．

题型2：求集合的子集、真子集

2-1．（2024高一·江苏·课后作业）设A＝{1，2}，B＝{x|x?A}若用列举法表示，则集合B是.

2-2．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合A=a,b,c,d的所有非空真子集的元素之和为2023，则a+b+c+d=

2-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为．

2-4．（2024高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集．

题型3：根据集合中的元素的个数求子集、真子集的个数

3-1．（2024·陕西咸阳·三模）设集合，则集合A的真子集个数是（????）

A．6 B．7 C．8 D．15

3-2．（2024高一上·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（????）

A．4 B．8 C．15 D．16

3-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（????）

A．8 B．7 C．6 D．5

3-4．（2024高三·全国·对口高考）若集合A满足?，则集合A所有可能的情形有（????）

A．3种 B．5种 C．7种 D．9种

3-5．（2024·河南开封·三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（????）

A．3 B．4 C．7 D．8

题型4：根据子集、真子集个数求参数

4-1．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是.

4-2．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（????）