第九章--典型相关分析.doc

典型相关分析

为了研究饲料与荤菜价格的关系，统计若干年玉米、豆饼、稻子、麦子以及猪肉、牛肉、鸡肉、鸡蛋、鸭肉、鸭蛋的价格，分析饲料与荤菜价格的关系时，发现单独一种饲料和单独一种肉蛋禽价格关系并不密切(由显著性检验可见)，但饲料的某种综合价格则与肉蛋禽综合价格的关系很密切。把饲料价格看成一组随机变量，肉蛋禽价格看成另一组随机变量，找这两组随机变量的线性组合，使之相关系数平方最大，从而分析两组随机变量间的关系，

判定这两组随机变量是否有关联，这就是典型相关分析。

9.1典型相关分析数学模型

设随机向量与的方差存在，协方差为。为常数向量。则，为了计算方便，限制。

定义9.1设在条件下使大，则称为第一对典型相关变量，称为第一典型相关系数。

由定义可见，尽可能多地反映原来p对随机变量相关的信息。第一对典型相关变往往不能完全反映随机向量间的关系，必须建立其他典型相关变量,它也应当最能反映随机向量间关系，但是它应当与第一对典型相关变量不相关（不包含第一对典型相关变量的信息）。

定义9.1’若常数向量a=,b=在条件,,下，使最大，则称为第二对典型相关变量，称为第二典型相关系数。若常数向量a=,b=在条件,,,,下，使最大，则称为第3对典型相关变量，称为第3典型相关系数，…。

求第1对典型相关变量是在条件下使最大，由Lagrenge乘子法，应当求Lagrenge函数的无条件极大。对a,b求偏导数得（9.1）

假设正定(否则用广义逆处理)，（9.1）第1式左乘得；（9.1）第2式左乘得；从而。

当时（9.1）式消去a得，从而，b分别是相对于的特征值，特征向量，或的特征值，特征向量。（9.1）式消去b得，从而，a分别是相对于的特征值，特征向量，或的特征值，特征向量。可以证明．

定理9．1设，a分别是的最大特征值及相应特征向量；，b分别是的最大特征值及相应特征向量；满足条件，则为第一对典型相关变量，为第一典型相关系数的平方。更一般的，设，分别是的第i大特征值及相应特征向量；，分别是的第i大特征值及相应特征向量；满足条件，则为第i对典型相关变量，为第i典型相关系数的平方。

实际问题中协差阵总用样本协差阵估计，设是正态总体的一个样本。，，则

，，

分别是的极大似然估计样本协差阵。定理（9.1）中协差阵可用极大似然估计样本协差阵代替。这样做的依据是

定理9．2设，分别是的第i大特征值及相应特征向量；，分别是的第i大特征值及相应特征向量；满足条件：，的样本方差都是1；则分别为的极大似然估计，为的极大似然估计。

定义9．2，称为第i对样本典型相关变量，称为第i个样本典型相关系数平方．

冗余分析也是典型相关分析的重要内容

设每组变量都标准化了，从第1组变量提取的典型变量为，从第2组变量提取的典型变量为；原第1组变量为，原第2组变量为；与X分量的相关系数所成向量为，与Y分量的相关系数所成向量为，则第i个典型变量从第1组变量提取的方差比例为，则第i个典型变量从第2组变量提取的方差比例为。

令，；则表示

9.2典型相关过程

SAS中用CANCORR过程（典型相关过程）计算样本典型相关系数和样本典

型相关变量。该过程主要包括以下三个语句：

ROCCANCORR语句，一般形式是PROCCANCORR选择项1选择项

2…．PROCCANCORR语句中选项可以是DATA＝…；用以表明输入数据集；OUT＝…；或OUTSTAT＝…；用以表明输出数据集，还可以是ALL，用以表明输出全部计算内容。

VAR语句，一般形式是VAR变量l变量2．．．．；用以指出第一组变量。

（3）WITH语句，一般形式是WITH变量1变量2．．．；用以指出第二组变量。

例9．1现有北京地区1951～1976年冬季的气象资料见表9．1，其中

year：年份

Dec：12月份平均气温．

Jan：次年一月份平均气温．

Feb：次年二月份平均气温．

High7：7月500hpa图上13--14E，40--50N范围内6点高度距平和．

High4：4月500hpa图上(110E，45N)(100W，40N)和(100W，50N)3点高度距平和．

high8：8月500hpa图上150E，35--45N；100E，40--50N范围内5点高度距平和．·

表9．1北京地区冬季气温

year

Dec

Jan

Feb

Hhigh7

high4

high8

1951

1.0

-2.7

-4.3

4

-7

12

1952

-5.3

-5.9

-3.5

0

21

5

1953

-2.0

-3.4

-0.8

6

-9

5

1954

-5.7

-4.