3.1.1 函数的概念9题型分类（讲+练）（解析版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

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3.1.1函数的概念9题型分类

一、函数的概念

(1)函数的概念

函数的定义

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法

y＝f(x)，x∈A

定义域

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

函数值

与x的值相对应的y值

值域

函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集

(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．

二、区间的概念

(1)设a，b是两个实数，而且ab.我们规定：

①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；

②满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；

③满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b].

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．

满足x≥a，xa，x≤b，xb的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b).

(2)区间的几何表示

在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．

区间

数轴表示

[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

(3)含“∞”的区间的几何表示

区间

数轴表示

[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，b]

(－∞，b)

注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．

(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．

三、同一个函数的判定

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．

四、常见函数的值域

(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.

(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).

（一）

函数关系的判断

1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件

(1)A，B必须是非空数集．

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线l.

(2)在定义域内平行移动直线l.

(3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示：

题型1：函数关系的判断

1-1．（2024高一·江苏·课后作业）已知集合，，下列对应关系中，从A到B的函数为（????）

A．f： B．f：

C．f： D．f：

【答案】D

【分析】根据函数的定义分别进行判断即可.

【详解】解：对A：当时，对应的为0,1,2，所以选项A不能构成函数；

对B：当时，对应的为0,1,4，所以选项B不能构成函数；

对C：当时，对应的为0,2,4，所以选项C不能构成函数；

对D：当时，对应的为,1,3，所以选项D能构成函数；

故选：D.

1-2．（2024高一·江苏·课后作业）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.

【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.

故选：B.

1-3．（2024高一上·江苏扬州·期中）下列对应是集合到集合的函数的是（????）

A．，

B．，，

C．，

D．，

【答案】A

【分析】根据函数的定义进行判断即可．

【详解】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；

对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；

对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；

对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.

故选：A．

1-4．（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离