考研数学概率论练习及解答.doc

解题步骤：

①正确理解题意②分析考核点〔重点，涉及〕③适中选择方法④作题格式

一、概率论局部

1.“几何概型”问题

例1在长l的线段AB上任意投掷两个质点M和N，那么点A离点M比离点N近的概率为()

A．B．C．D．1

解事件A＝{点A离点M比离点N近}，并且设|AM|＝x，|AN|＝y，那么0≤x≤l，0≤y≤l，因此

Ω＝{(x，y)|0≤x≤l，0≤y≤l}，A＝{(x，y)|0≤x≤y≤l}，

应选择C.

例2设平面区域D是由x＝1，y＝0，y＝x所围成，今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y＝x2与y＝x所围成的区域D1内的概率．

解分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D1的概率．根据几何概型，有

第二步：设X＝{落入D1内的点数}，有于是

P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)

例3设随机变量X和Y的联合分布在正方形G＝{(x，y)：1≤x≤3，1≤y≤3}上均匀分布，试求随机变量U＝|X－Y|的概率密度p(u).

解由条件知X和Y的联合密度为

以F(u)＝P(U≤u)(－∞＜u＜∞)表示随机变量U的分布函数.

显然，当u≤0时，F(u)＝0；当u≥2时，F(u)＝1.

设0＜u＜2，那么

于是，随机变量的密度为

例4在长为l的线段上，任意选取两点M和N，求E|M－N|，D|M－N|

解令Z＝|M－N|，先求p(z)

F(z)＝P(Z≤z)＝P(|M－N|≤z)＝，p(z)＝F′(z)

再求E(Z)和D(Z).

例5〔1〕设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，那么

P{max{X，Y}≤1}＝______.

答案是：.

分析此题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计算问题.

由题设，可知(X，Y)～U(D)，其中D＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤3}.

解法1

P{max(X，Y)≤1}＝P(X≤1，Y≤1)＝P(X≤1)·P(Y≤1)

解法2由几何概型可知

〔2〕在区间(0，1)中随机地取两个数，那么这两个数之差的绝对值小于的概率为____.

答案是：.

分析此题主要考查“二维均匀分布或几何概型”.

解设随机取到的两个数为X与Y，那么(X，Y

另一方面我们也可以根据几何概型来计算，如图，即

2.“图解法”问题

例1设事件A、B、C满足P(B)＝2P(A)，P(C)＝3P(A)，并且P(AB)＝P(BC)，那么P(A)的取值范围是()

A．B．

C．D．

解由于AAB，于是有

x＝P(A)≥P(AB)＝y＝P(BC)利用加法公式，有

1≥P(B＋C)＝P(B)＋P(C)－P(BC)＝3x＋2x－y≥3x＋2x－x＝4x≥0

即0≤4x≤10≤x≤.应选择D.

例2设两个随机事件A，B相互独立，仅有A发生的概率为，仅有B发生的概率为，那么P(A)＝_______.

解

所以

例3设X～N(2，σ2)，并且P(2＜X＜4)＝0.3，那么P(X＜0)＝______.

例4设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的(0＜＜1)，数满足P{X＞}＝.假设P{|X|＜x}＝，那么x等于

(A)(B)(C)(D)u1－α

解由题设，可知uα满足P(X＞uα)＝α.

可见，假设要P(|X|＜x)＝α，即P(|X|≥x)＝1－α，

而P(X＞x)＝，因此应选择C.

3.“事件独立性”问题

①定义

相互独立

②等价定义

A.两两独立+与独立〔三者之一〕

B.+或1

例设事件A、B、C满足P(AB)＝P(A)P(B)，并且P(C)＝[P(C)]2，那么A、B、C()

A．一定不是两两独立；B．不一定是两两独立；

C．一定是相互独立；D．一定不是相互独立.

解由P(C)＝[P(C)]2，我们有P(C)＝0或1

应选择C.

证明：(1)对于任意的A，由于ACC，P(AC)≤P(C)＝0

P(AC)＝0＝P(A)P(C)，即A与C相互独立

(2)(C＋)A＝A，

P(A)＝P(A)－P(AC)＝P(A)－P(A)P(C)＝P(A)(1－P())＝P(A)P()

结论：零(或1)概率事件与任何事件都是相互独立的.

4.“全概公式”问题

例1袋中装有n只球，每次从中随意取出一球，并放入一个白球，如此交换共进行na，那么第n