导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题.docx

导数结合“洛必达法那么〞巧解恒成立问题

第一局部：历届导数高考压轴题

设函数f(x)＝(x＋1)·ln(x＋1)，假设对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

函数.

〔Ⅰ〕设，讨论的单调性；

〔Ⅱ〕假设对任意恒有，求的取值范围.

设函数．

〔Ⅰ〕证明：的导数；

〔Ⅱ〕假设对所有都有，求的取值范围．

设函数．

〔Ⅰ〕求的单调区间；

〔Ⅱ〕如果对任何，都有，求的取值范围．

设函数.

⑴求的单调区间和极值;

⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?假设存在,求的取值范围;假设不存在,试说明理由.

设函数=.

〔Ⅰ〕假设，求的单调区间;

〔Ⅱ〕假设当x≥0时≥0，求a的取值范围

函数.

〔Ⅰ〕假设在时有极值，求函数的解析式；

〔Ⅱ〕当时，，求的取值范围.

设函数.

〔Ⅰ〕证明：当时，；

〔Ⅱ〕设当时，，求的取值范围.

函数，曲线在点处的切线方程为.

〔Ⅰ〕求、的值；

〔Ⅱ〕如果当，且时，，求的取值范围.

自编：假设不等式对于恒成立，求的取值范围.

第二局部：新课标高考命题趋势及方法

1.新课标高考命题趋势

近年来的高考数学试题逐步做到科学化、标准化，坚持了稳中求改、稳中创新的原那么，充分发挥数学作为根底学科的作用，既重视考察中学数学根底知识的掌握程度，又注重考察进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.

2.分类讨论和假设反证

别离参数法，一局部题用这种方法很奏效，另一局部题在高中范围内用别离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.

3.洛必达法那么

虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，〞型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法那么.

第三局部：洛必达法那么及其用法

洛必达法那么：设函数、满足：

〔1〕；

〔2〕在内，和都存在，且；

〔3〕〔可为实数，也可以是〕.

那么.〔可连环使用〕

注意使用洛必达法那么时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。

函数，曲线在点处的切线方程为.

〔Ⅰ〕求、的值；

〔Ⅱ〕如果当，且时，，求的取值范围.

〔Ⅰ〕略解得，.

〔Ⅱ〕方法一：分类讨论、假设反证法

由〔Ⅰ〕知，所以.

考虑函数，那么

(i)当时，由知，当时，.因为，

所以当时，，可得；当时，，可得

，从而当且时，，即；

〔ii〕当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.

〔iii〕当时，，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.

注：分三种情况讨论：①；②；③不易②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不一样，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.

当，且时，，即，

也即，记，，且

那么，

记，那么，

从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.

由洛必达法那么有

，

即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.

注：此题由很容易想到用别离变量的方法把参数求导，研究其单调性、极值.

此时遇到了“当时，函数值没有意义〞这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法那么的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.

当然这一法那么出手的时机：〔1〕所构造的分式型函数在定义域上单调

〔2〕是型。

设函数.

〔Ⅰ〕假设，求的单调区间；

〔Ⅱ〕当时，，求的取值范围.

应用洛必达法那么和导数

〔Ⅱ〕当时，，即.

①当时，；②当时，等价于.

记，那么.

记，那么，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.

由洛必达法那么有，

即当时，，所以当时，所以，因此.

综上所述，当且时，成立.

自编：假设不等式对于恒成立，求的取值范围.

解：应用洛必达法那么和导数

当时，原不等式等价于.

记，那么.

记，那么.

因为，

，所以在上单调递减，且，

所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，

且，故，因此在上单调递减.

由洛必达法那么有

，

即当时，，即有.

故时，不等式对于恒成立.

通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法那么解决的试题应满足：

可以别离变量；

②用导数可以确定别离变量后一端新函数的单调性；

③出现“〞型式子.

2021海南宁夏文〔21〕

函数.

〔Ⅰ〕假设在时有极值，求函数的解析式；

〔Ⅱ〕当时，，求的取值范围.

解：〔Ⅰ〕略

〔Ⅱ〕应用洛必达法那么和导数

当时，，即.

①当时，；

②当时，等价于，也即.

记，，那么.

记，，那么，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调