第三章-直线与方程(家教).docx

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第三章直线与方程

3.1倾斜角与斜率

基础知识

（1）直线的倾斜角

①直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为

③倾斜角的范围

（2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在.

记作

⑴当直线与轴平行或重合时,,

⑵当直线与轴垂直时,,不存在.

②经过两点的直线的斜率公式是

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.

（3）求斜率的一般方法：

①已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；

②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；

（4）利用斜率证明三点共线的方法：

已知，若，则有A、B、C三点共线。

（5）直线平行与垂直

①两条直线平行：对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有

特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行

②两条直线垂直：如果两条直线斜率存在，设为，则有

注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；

由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直.

基础题目

1．下列命题正确的是（A）

（A）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应

（B）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应

（C）直线的斜率为k，则这条直线的倾斜角为arctank

（D）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα

2．过点M(－2,a),N(a,4)的直线的斜率为－，则a等于（B）

（A）－8（B）10（C）2（D）4

3．过点A(2,b)和点B(3,－2)的直线的倾斜角为，则b的值是（A）

（A）－1（B）1（C）－5（D）5

4．如图，若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则（B）

（A）k1k2k3（B）k3k1k2

（C）k3k2k1（D）k1k3k2

5．已知三点A(2,－3),B(4,3),C(5,)在同一直线上，则m的值为12.

6．已知y轴上的点B与点A(－,1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B的坐标为（0，-2）.

7．已知A(－2,3),B(3,2)，过点P(0,－2)的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（-5/2,5/3）.

3.2直线的方程

基础知识

直线方程的几种形式

名称

方程的形式

已知条件

局限性

①点斜式

为直线上一定点，

为斜率

不包括垂直于轴的直线

②斜截式

为斜率，是直线在轴

上的截距

不包括垂直于轴的直线

③两点式

不包括垂直于轴和轴的直线

④截距式

是直线在轴上的非零截距，是直线在轴上的非零截距

不包括垂直于轴和轴或过原点的直线

⑤一般式

无限制，可表示任何位置的直线

问题：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】

(1)若，直线垂直于轴,方程为；

(2)若，直线垂直于轴,方程为；

(3)若，直线方程可用两点式表示

直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；

利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.

用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.

截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。

（2）线段的中点坐标公式

3.3直线的交点坐标与距离

（1）两条直线的交点

设两条直线的方程是,

两条直线的交点坐标就是方程组的解。

①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.

（2）几种距离

两点间的距离：平面上的两点间的距离公式

特别地，原点与任一点的距离

点到直线的距离：点到直线的距离

两条平行线间的距离：两条平行线间的距离

注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

基础练习

1.直线＝－1在y轴上的截距是（B）

A.2B.3C.－2D.－3

2.已知直线l过点M（－1，0），并且斜率为1，则直线l的方程是（B）

A.x＋y＋1＝0B.x－y＋1＝0C.x＋y－1＝0D.x―y―1＝0

3.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（B）

A.x=3B.y=－5C.2y=x