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新高考数学《不等式》练习题
一、选择题
1．设，满足，向量，，则满足的实数的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得，根据约束条件画出可行域，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点C时，从而得到的最小值即可．
【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为，，
由得，∴当直线经过点C时，m有最小值，
由，得，∴，
∴，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
2．已知等差数列中，首项为（），公差为，前项和为，且满足，则实数的取值范围是（）
A．； B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的前n项和公式转化条件得，再根据、两种情况分类，利用基本不等式即可得解.
【详解】
数列为等差数列，
，，
由可得，
当时，，当且仅当时等号成立；
当时，，当且仅当时等号成立；
实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了等差数列前n项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
3．已知关于的不等式得解集为，则实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，结合题意得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】
当时，即当时，则有，该不等式恒成立，合乎题意；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
4．已知点，点为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，标出点的位置，利用图形可观察出使得最小时点的位置，利用两点间的距离公式可求得的最小值.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：
联立，解得，
由图知的最小值即为、两点间的距离，
所以的最小值为.
故选：C．
【点睛】
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
5．已知，满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为（）
A． B．25 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据的几何意义，结合平面区域求得原点到直线的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
要使得恒成立，只需，
因为表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线的距离的平方最小，
其中最小值距离为，则，即
所以数的最大值．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．
6．已知、满足约束条件，若，则实数的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出的最小值，进而可得出实数的最小值.
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示，
表示原点到可行域内的点的距离的平方，
原点到直线的距离的平方最小，.
由于，所以，.
因此，实数的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7．已知集合，，则（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
解出集合、，再利用补集和交集的定义得出集合.
【详解】
解不等式，得或；
解不等式，得，解得.
，，则，
因此，，故选：C.
【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
8．已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
若不等式对于任意的恒成立，则对于任意的恒成立，∵当时，，∴，即实数的取值范围是，故选．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的取值范围的.
9．若实数满足不等式组则的最小值等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析
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