圆锥曲线的方程练习题-2025届高三数学一轮复习.docx

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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十九

知识点一根据椭圆过的点求标准方程,求椭圆中的参数及范围,根据韦达定理求参数

典例1、已知①如图，长为，宽为的矩形，以?为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆

（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；

（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若为椭圆上的点，，分别是椭圆的左右焦点，若，求的周长与面积.

随堂练习：已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，圆是的内切圆．当直线的倾斜角为时，直线与椭圆交于点．

（1）求椭圆的方程；（2）求圆周长的最大值．

典例2、已知椭圆经过点，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求平行四边形OAPB的面积.

随堂练习：已知椭圆的焦点为，，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）直线：与曲线交于，两点，求四边形面积的最大值.

典例3、在平面直角坐标系中，点，，，点M的轨迹为C.

（1）求C的方程：（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明：.

随堂练习：平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.

（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；

（2）已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.

知识点二根据椭圆过的点求标准方程,根据韦达定理求参数

典例4、已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．

（1）求椭圆C和抛物线E的方程；（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

随堂练习：已知椭圆的左?右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心?椭圆

短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

典例5、已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为.

（1）求C的方程；（2）若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线上，求n的值及面积的最大值.

随堂练习：已知椭圆的离心率为，为其左焦点，过的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；（2）试求面积的最大值以及此时直线的方程.

典例6、已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，

且（其中A为右顶点）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.

随堂练习：已知椭圆的右焦点为，离心率．

（1）求的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程．

2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十九答案

典例1、答案：（1）；（2），

解:（1）选择条件①：由已知可得点代入椭圆方程得：

故椭圆方程为：

选择条件②：

由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，

∴，又，即，∴，则，

∵，

∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，

∴的轨迹方程为.

（2）设，则

在中，根据余弦定理可得：

即

根据定义：代入上式得：故

且周长为：

随堂练习：答案：（1）；（2）．

解:（1）设椭圆的半焦距为，则，

当直线的倾斜角为时，直线的方程为，

又直线与椭圆交于点，，

将点代入椭圆方程得：

解得或（舍），椭圆的方程为

（2）设圆的半径为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，

当直线的斜率存在时，设为，直线的方程为，

设，由得

，

又

综上，当时，圆的周长取得最大值．

典例2、答案：（1）；（2）.

解：（1）因为椭圆C经过点，代入椭圆方程，可得，①

又因为椭圆C的离心率为，所以，从而，②

联立①②，解得，所以椭圆C的方程为

（2）把代入椭圆方程，得，

当，

即时，设，则，

所以，

因为四边形是平行四边形，所以，

所以P点坐标为.

又因为点P在椭圆上，所以，即，满足.

因为

.

又点O到直线l的距