4.1指数5题型分类(讲+练）（解析版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

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4.1指数5题型分类

一、根式的定义

(1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示

①当n是奇数时，a的n次方根表示为eq\r(n,a)，a∈R；

②当n是偶数时，a的n次方根表示为±eq\r(n,a)，其中eq\r(n,a)表示a的正的n次方根，－eq\r(n,a)表示a的负的n次方根，a0；

③负数没有偶次方根；

④0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.

(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

二、根式的性质

(1)(eq\r(n,a))n＝a.

(2)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a?n为奇数?，,|a|?n为偶数?)).

注：eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别

(1)eq\r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0.))

(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.

三、分数指数幂的意义

(1)＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，n1)，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，n1).

(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂的理解

(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为eq\f(m,n)个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．

(2)把根式eq\r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq\f(m,n)进行约分．

(3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义．

四、有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．

（一）

n次方根的概念问题

1、n次方根的个数及符号的确定

(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．

(2)根式eq\r(n,a)的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定：

①当n为偶数时，eq\r(n,a)为非负实数；

②当n为奇数时，eq\r(n,a)的符号与a的符号一致．

2、判断关于n次方根的结论应关注两点

(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；

(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．

题型1：n次方根的概念

1-1．（2024高一·江苏·假期作业）的平方根为，的次方根为；已知，则；

【答案】

【分析】利用根式的定义求解即可.

【详解】，的平方根为.

的次方根为.

，.

故答案为：；；.

1-2．（2024高一上·上海虹口·期中）625的四次方根为.

【答案】

【解析】利用一个数的n次方根的定义求解即可.

【详解】因为，所以625的四次方根为.

故答案为：.

1-3．（2024高一·全国·课后作业）81的4次方根是．

【答案】

【分析】利用方根的意义，列式计算作答.

【详解】81的4次方根是.

故答案为：

1-4．（2024高一上·甘肃临夏·阶段练习）二次根式成立的条件是（???）

A． B． C． D．是任意实数

【答案】C

【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果.

【详解】因为，

所以.

故选：C.

1-5．（2024高一·江苏·假期作业）是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用根式有意义的条件即可判断.

【详解】当时，的偶次方根无意义.

故选：D

1-6．（2024高三·全国·专题练习）已知，求

【答案】

【分析】根据绝对值、平方及二次根式的意义可求的值，从而可得答案．

【详解】因为，

所以，解得，所以，

故答案为：．

（二）

利