2.2基本不等式10题型分类(讲+练）（原卷版）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.docx

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

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2.2基本不等式10题型分类

一、基本不等式

1．如果a0，b0，，当且仅当时，等号成立．

其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

3.不等式2ab与不等式≤成立的条件一样吗？

不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a0，b0.

4.不等式2ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？

相同.都是当且仅当a＝b时等号成立.

5.基本不等式成立的条件一正二定三相等.

二、基本不等式与最大值最小值

1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.

(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值.

(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值.

（一）

对基本不等式概念的理解

对基本不等式概念的理解

（1）基本不等式≤(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．

（2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：

①定理成立的条件是a、b都是正数．

②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.

题型1：对基本不等式概念的理解

1-1．（2024·宁夏银川·二模）下列不等式恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

1-2．（2024高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（????）

A． B． C． D．

1-3．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）下列不等式中正确的是（????）

A． B． C． D．

1-4．（2024高三·全国·专题练习）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（????）

A．≤(a0，b0)

B．a2＋b2≥2ab(a0，b0)

C．≥(a0，b0)

D．≥(a0，b0)

1-5．（2024高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（????）

A． B．

C． D．

1-6．（2024高二上·陕西咸阳·期中）已知，且，则下列结论恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

（二）

利用基本不等式比较大小

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

(2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．

题型2：利用基本不等式比较大小

2-1．（2024高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（????）

A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定

2-2．（2024高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（????）

A． B． C． D．baa

2-3．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（????）

A．先提价，再提价 B．先提价，再提价

C．分两次，都提价 D．分两次，都提价

2-4．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）如果，那么下列不等式正确的是（?????）

A． B．

C． D．

2-5．（2024高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是.(填序号)

①；②；③；④.

题型3：利用基本不等式证明不等式

3-1．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）已知是实数.

(1)求证：，并指出等号成立的条件；

(2)若，求的最小值.

3-2．（2024高