大农类概率论CH2第4节 连续型随机变量及其概率密度.pptVIP

第四节连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结

一、连续型随机变量的引入连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.

则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度.二、连续型随机变量及其概率密度的定义有,使得对任意实数,对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),连续型随机变量的分布函数在上连续

三、概率密度的性质1o2o【注】这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件0xf(x)面积为1

利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1x2),若f(x)在点x处连续,则有0xf(x)x1x2

故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.若x是f(x)的连续点，则对f(x)的进一步理解:

若不计高阶无穷小，有表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.

要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度(取值)，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa

(1)连续型r.v取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为连续型r.v的分布函数F(x)是连续的，且请注意:当时得到

(2)对连续型r.vX,有由P(B)=1,不能推出B=S由P(A)=0,不能推出由此可以得到如下结论：

例2

故有解(1)因为X是连续型随机变量,

1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X～U(a,b)三、常见的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：

例3某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位

为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，

指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.2.指数分布若r.vX具有概率密度为常数,则称X服从参数为的指数分布.

若X服从参数为的指数分布,则其分布函数为事实上,当时,当时,

例4设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为θ=2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.X的分布函数为解

指数分布的重要性质:“无记忆性”.

3.正态分布若连续型r.vX的概率密度为其中和(0)都是常数,则称X服从参数为的正态分布或高斯分布.记作

事实上,

函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；x=μ?σ为f(x)的两个拐点的横坐标；

当x→∞时，f(x)→0.f(x)以x轴为渐近线根据对密度函