高等动力学大作业报告-Kpitza pendulum问题研究.pdf

1.问题描述3

2.摘要3

3.引言4

4.关于方程5

5.方程的数值解及其稳定的区间6

6.方程解的周期及其解释8

1.问题描述

一个单摆长为l,悬吊在一个做上下振动的台面上,研究单摆的动力学行为。

̈

2

单摆的动力学方程可写为:=(−cos());

其中:ω为板的振动频率。

要求:
(1)发现单摆的周期振动

(2)倍周期现象


(3)在相平面上画出相轨迹。

2.摘要

Kapitzapendulum问题可以通过解运动方程的数值解得出相关结论。Kapitza

pendulum中运动角度和时间的关系图像以及相图均可以利用数值解的数据得到。

通过观察运动角度和时间的关系图像和相图，我们可以在一定程度上解释此类运

动问题的周期、倍周期现象。

3.引言

Kapitzapendulum问题是理论力学中一个有趣的研究课题，通过在单摆顶端

的非惯性系研究系统的运动过程，很容易得出运动方程

̈

=(−2cos())

̈

经无量纲处理后θ=(α−βcos(τ+T))sin(θ)得，其中T为该运动的周期。然而在

不同的α、β取值下，运动的周期现象并不总是存在。1所以我们考虑在一定的

α、β区间内讨论系统的周期，本文中我们的参数范围是α、β∈［0，1］。

我们的研究思路是：首先，利用Matlab解出方程的数值解，画出θ与t的关系图

像和相图；接着，利用θ与t的关系图像和相图判断找出有周期的情况；最后，

研究有周期情况下，周期的具体性质并作出相关解释。

研究的过程并不是一帆风顺的，我们遇到了许多问题。第一步中，在给定参

数下，我们发现该方程无法解出数值解，即使做线性化近似处理，依然如此，我

们只能用ode求数值解，并通过数值解的结果作图。我们发现对于稳定的情况，

用不同的ode函数得到的结果几乎没有任何差别；而对于不稳定的情况，用不同

的ode函数得到的结果存在差别，但是所有结果都能表明该情况不稳定；第二步

中，我们发现在有周期的情况下，图像的周期情况较为复杂，如下是在两个不同

参数情况下的θ与t的关系图像：

1M.V.Bartuccelli,G.Gentile,andK.V.Georgiou.OntheDynamicsofaVerticallyDrivenDamped

PlanarPendulum.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA:Mathematical,Physicaland

EngineeringSciences457.2016(2001):3007-22.Print.

容易看出，它们的周期是多个不同频率的叠加，为此，我们对数值解的结果做了

离散傅立叶变化，试图找出图像的各个频率。最后，我们利用离散傅立叶变化找

2

出了几个主要的频率并发现了相关规律。以下，我们将从关于方程、方程的数

值解及其稳定的区间、方程解的周期及其解释共3个部分进一步说明。

4.关于方程

倒立单摆（如图1）的轴做简谐振动，位移可以用z(t)表示：

()

zt=Acos(ωt)

如果我们建立一个固连在振动台上的非惯性参考系，