双曲线小专题特训-2025届高三数学一轮复习.docxVIP

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备战2025年高考数学一轮复习卷-双曲线小专题特训

一、单选题

1．已知双曲线（）的离心率为，则（???）

A．2 B． C． D．

2．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

3．已知双曲线的右焦点为，若关于渐近线的对称点恰好落在渐近线上，则的面积为（????）

A． B．2 C．3 D．

4．双曲线的两条渐近线与圆没有公共点，则实数m的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

5．已知双曲线与双曲线的离心率相同，双曲线的顶点是双曲线的焦点，则双曲线的虚轴长为（????）

A． B． C． D．10

6．已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线左支上一点，若直线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C．2 D．

7．已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（????）

A． B． C．2 D．4

8．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，且，若，则下面有关结论可能正确的是（???）

A． B． C． D．

10．已知双曲线与椭圆的一个交点为，分别是的左、右顶点，分别是的左、右顶点，则（????）

A．直线与直线的斜率之积为1 B．若，则

C．若，则 D．若的面积为，则

11．已知双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，下列结论正确的有（????）

A．若的离心率为，则过点且与的渐近线相同的双曲线的方程是

B．若点，则的最小值为

C．过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值为

D．若直线与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为

三、填空题

12．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是．

13．已知、是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为（为双曲线的半焦距），则的渐近线方程为.

14．已知中，，，，以B、C为焦点的双曲线经过点A，且与边交于点D，则的值为．

四、解答题

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，其中一条渐近线方程为，且双曲线的虚轴长为2．

(1)求双曲线的方程；

(2)过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，求直线的斜率．

16．已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.

17．已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于两点，.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)已知点，过点的直线与双曲线交于两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.

18．已知双曲线的右焦点为.

(1)若双曲线的一条渐近线方程为:，且，求双曲线的方程.

(2)以原点O为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线且斜率为，求双曲线的离心率.

19．已知曲线的左?右焦点分别为，倾斜角为的直线经过左焦点.直线与曲线的交点为（在轴上方），过点作的平分线的垂线，垂足为为坐标原点.

(1)若，求内切圆的圆心的横坐标和的长；

(2)若，求的面积和的长.

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参考答案：

1．B

【分析】根据双曲线方程求出、，再由离心率公式计算可得.

【详解】双曲线（）中，所以，

则离心率，解得，所以（负值舍去）.

故选：B

2．A

【分析】由题意设，则，而，，由三角形面积公式可得，从而，在中，运用余弦定理可得，由此即可得解.

【详解】

设，则，而，所以，

所以点到的距离为，

又，所以，

解得，即，从而，

又因为，

所以，

在中，由余弦定理有，

所以，即，

解得，双曲线C的渐近线方程为.

故选：A.

3．A

【分析】根据题意，由点与点关于直线对称可得，，再由三角形的面积公式，即可得到结果.

【详解】

设与渐近线的交点为，

由题意可知，，，

所以，

则.

故选：A

4．D

【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，结合圆的一般方程表示圆以及直线与圆相离求解即可.

【详解】因为