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第15讲函数模型的应用
[课程标准]1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
1.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)
幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数性质
y=ax(a1)
y=logax(a1)
y=xn(n0)
在(0,+∞)上的增减性
eq\x(\s\up1(01))单调递增
eq\x(\s\up1(02))单调递增
eq\x(\s\up1(03))单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与eq\x(\s\up1(04))y轴平行
随x的增大逐渐表现为与eq\x(\s\up1(05))x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当xx0时,有logaxxnax
1.(人教A必修第一册3.1.2练习T1改编)设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()
答案D
解析y为小王从出发到返回原地所经过的路程,而不是位移,故排除A,C;又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.故选D.
2.(人教B必修第一册3-3BT2改编)在某个物理实验中,测量出变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是()
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
答案D
解析根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入其余各选项计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.
3.下列函数中,随着x的增大,y也增大,且增长速度最快的是()
A.y=0.001ex B.y=1000lnx
C.y=x1000 D.y=1000·2x
答案A
解析在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除B,C;指数函数中,当底数大于1时,底数越大,函数的增长速度就越快,系数的影响可忽略不计.故选A.
4.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0x240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,且销量等于产量,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
答案C
解析设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0x240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,所以生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C.
5.(人教A必修第一册习题4.3T8改编)若某地2023年的GDP比2013年翻一番,则此地GDP平均每年的增长率是________.
答案2eq\s\up7(\f(1,10))-1
解析设平均每年的增长率为x,所以(1+x)10=2,即1+x=2eq\s\up7(\f(1,10)),则x=2eq\s\up7(\f(1,10))-1,所以平均每年的增长率应是2eq\s\up7(\f(1,10))-1.
6.(人教A必修第一册习题4.4T5改编)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000米,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为x,研究中发现v=0.5log3eq\f(x,100)(x≥100),在逆流而上的过程中,某两条鲑鱼的游速v1,v2满足v1+v2=4v1v2,则这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为________个单位.
答案600
解析由v=0.
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