河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期8月月考试题 数学 Word版含解析.docx

2024-2025学年高二上学期7月暑期检测

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知，则（???）

A． B． C． D．

2．已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（????）

A． B． C． D．

3．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

4．如图，实心正方体的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（????）

A． B． C． D．

5．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（???）

A．9 B． C．12 D．

6．在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（????）．

A．B．C．或 D．或

7．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为

A． B． C． D．

8．筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（????）

??

A． B． C． D．

二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）

9．某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（????）

A．的值为0.035B．估计这组数据的众数为90

C．估计这组数据的第70百分位数为89D．估计成绩低于80分的有350人

10．已知平面向量，，则（????）

A．当时， B．若，则

C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则

11．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（????）

A．B．若，则为直角三角形

C．若为锐角三角形，的最小值为1

D．若为锐角三角形，则的取值范围为

三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）

12．有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为.

13．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为

14．如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是．

四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

（15分）15．如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点．

(1)证明：；

(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；

(3)求点到平面的距离．

（14分）16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．

(1)应抽取小吃类商家多少家？

(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．

①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；

②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．

（15分）17．已知向量，且与的夹角为，

(1)求证：

(2)若，求的值；

(3)若与的夹角为，求的值．

（15分）18．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P