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立体几何
题型一、平行与垂直的证明
例1.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA//平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD
DBCASE例2.四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,侧面底面ABCD,已知,,,.
D
B
C
A
S
E
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.
变式:
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.
题型二、空间角与距离
例3.如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点。
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。
例4.如图,四面体ABCD中,O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2
(Ⅰ)求证:AO⊥平面BCD;
(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(Ⅲ)求点E到平面的距离.
变式:
如图,正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直,且长度均为2.、分别是、的中点,是的中点,过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、,已知.
(1)求证:⊥面;
(2)求二面角的大小.
题型三、探索性问题
例5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证:平面PAD;
(2)当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时,直线平面PCD?
变式:
如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形
(1)求证:AD?BC
(2)求二面角B-AC-D的大小
(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30?角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.
题型四、折叠、展开问题
例6.已知正方形、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为
(1)证明平面;
(2)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值。
变式:
如图,在直角梯形P1DCB中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D=6,BC=3,DC=,A是P1D的中点,E是线段AB的中点,沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置,使二面角P-CD-B成45°角.
ADCBEP(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)求平面PEC
A
D
C
B
E
P
题型五、多面体的组合问题
例7.是正四棱锥,是正方体,其中.
(Ⅰ)求证:;
PABCDD1A1B
P
A
B
C
D
D1
A1
B1
C111441
(Ⅲ)求到平面的距离.
变式:
如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
题型六、表面积与体积问题
ABCMPD例8.如图,在四棱锥中,平面平面,,是等边三角形,已知,.
A
B
C
M
P
D
(Ⅰ)设是上的一点,证明:平面平面;
(Ⅱ)求四棱锥的体积.
变式:
正方体,,E为棱的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
反馈练习:
1.如图所示,已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为,底
面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC
所成角的大小为()
A.90° B.60°C.45°D.30°
2.长方体的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=,,则顶点A、B间的球面距离是()
A.B.C.D.2
A1CBAB1C1D1DO3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD
A1
C
B
A
B1
C1
D1
D
O
A. B. C. D.
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O
A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1
A、B、C、D、
5.△ABC的顶点B在平面a内,A、C在a的同一侧,AB、BC与a所成的角分别是
30°和45°,若AB=3,BC=,AC=5,则AC与a所成的角为()
A.60°B.45°C.30°D.15°
6.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为(
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